¿Por qué elegimos $3$ a ser positiva después de $\sqrt{9 - x^2}$ la substitución siguiente?

Question

La integral $$\int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2}dx$$ is solved in my book by letting $x = 3\sin\theta$ where $-\frac {\pi}{2} \le \theta \le \frac {\pi}{2}$. A continuación, $dx = 3\cos\theta\,d\theta$

y, $$\sqrt{9-x^2} = 3|\cos\theta| = 3\cos\theta$$

Por eso, $$\int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2}dx = \int \cot^2 \theta \ d\theta = -\cot\theta - \theta + C$$

Volviendo a la variable original, $$\int \frac{\sqrt{9 - x^2}}{x^2}dx = -\frac {\sqrt{9 - x^2}}{x} - \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C$$

No entiendo por qué la $\sqrt{9-x^2} = 3|\cos\theta| = 3\cos\theta \,$ en lugar de $\sqrt{9-x^2} = |3||\cos\theta| = |3|\cos\theta$. Tengo la sensación de tener problemas para entender esto porque no estoy seguro de cuál es el propósito de que el valor absoluto de los signos en este caso, son para indicar que, por ejemplo, $|\cos\theta| = \pm\cos\theta$? Si ese es el caso, ¿por qué elegimos $3$ a ser positivo en lugar de negativo?

Answer 1

Piense en esto: ¿Cómo sería el uso de $\;|\,3\,|\;$ cambiar el resultado?$\quad$ Después de todo, $\;|\,3\,| \;= \quad?$

También tenga en cuenta: $\,|\cos\theta| \,= \,\cos\theta \,\ge \,0\;$ dado que el rango de $\,\theta\,$$\;\;-\dfrac{\pi}{2} \,\le\, \theta \,\le \dfrac{\pi}{2}$.

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Usted parece estar confundido acerca de lo "$|\;\cdot\;|$" significa.

$\;| \,a \,|$ no es lo mismo que $\,\pm a\,$.

Más bien, se define

• $|\, a \,| = -a\,$ si $\,a \lt 0$.

• $|\, a\, | = \;\,\;a\,$ si $\,a \geq 0$.

Esto SIEMPRE devuelve un valor no negativo resultado.

Por definición, $\,\sqrt{\;\;}\,\;$ devuelve sólo la no-negativo de la raíz de una plaza o cuadrática. Por lo $\,\sqrt{a^2}=|a|,\,$ mientras que la solución de, por ejemplo, $\,x^2-a = 0\,$ obtenemos dos raíces: $\,x\, =\,\pm \sqrt{a}\,$.

Answer 2

El núcleo de su problema parece ser una confusión sobre el significado de $\left| \cdot \right|$. $\left| x \right|$ no es lo mismo como $\pm x$. En su lugar:

• $\left| x \right| = -x$ Si $x \le 0$
• $\left| x \right| = x$ Si $x \ge 0$

Ahora, porque $\sqrt{\cdot}$ es una función real-valued, sólo puede devolver una de las raíces cuadráticas de su argumento. Hemos elegido que es el negativo, por lo que $\sqrt{x^2}=\left|x\right|$, mientras que las raíces de $x^2-a$ $\pm \sqrt{a}$.

Answer 3

Tu libro está siendo muy cuidadoso con el hecho de que $\sqrt{1-\sin^2\theta} = \cos\theta$ sólo es verdadero cuando $\cos \theta \geq 0$. Por supuesto, en este problema no importa, desde $-\frac{\pi}{2}

Tenga en cuenta que usted también podría haber elegido la sustitución $x = -3\sin \theta$. Es un buen ejercicio para comprobar que esto le da la misma respuesta como $x=3\sin \theta$.