Función sin raíces

Question

Dada una función no constante $f(x)$, ¿es posible que no tenga ningún cero (ni real ni complejo)? Por ejemplo, digamos que $f(x)=\cos x-2$, ¿existe una solución compleja para esto porque para $x$ real, $\cos x$ pertenece a $[-1, 1]$? O, digamos $f(x)=e^x$, ¿existe un cero complejo para esto porque $e^x \gt0$ para $x$ real?

Answer 1

$\exp(x)$ no tiene raíces reales, y tampoco raíces complejas.

No es difícil encontrar funciones que no tienen raíces: para cualquier función $f(x)$, $g(x) = |f(x)|+1$ no tiene raíces.

Answer 2

La respuesta a la pregunta tal como se formuló es simplemente "sí", como han dicho otros. Me gustaría dar un poco más de contexto y explicar por qué (para una interpretación de la pregunta) la respuesta se acerca a ser no.

Entonces, en primer lugar, "función" es un término muy amplio. La definición habitual en matemáticas es que una función es cualquier manera de asignar valores de salida a valores de entrada, y obviamente con esta definición es muy fácil tener una función no constante en $\Bbb{C}$ que nunca es cero; por ejemplo, sea f(z)=1 a menos que z=9, en cuyo caso f(z)=2.

Entiendo que la persona que hace la pregunta está interesada en funciones "agradables" en algún sentido, y en particular supongo que tiene en mente funciones que se construyen de manera obvia a partir de funciones "estándar" como la suma, seno, exp, etc.

Existe una noción importante en el análisis complejo, de una función analítica. Eso significa una función que es "complejamente diferenciable"; es decir, para cualquier $z$ hay un número complejo $a$ tal que $f(z+h)=f(z)+ah+o(|h|)$, ese último término denota algo que $\rightarrow0$ más rápido que $|h|$ lo hace. (Luego escribimos $f'(z)=a$.)

Ahora bien, resulta que la analiticidad es una condición extremadamente rigurosa. Por ejemplo, si sabes que una función es analítica y conoces sus valores en los números $1/n$ ¡eso determina completamente todos sus valores en todas partes! Pero porque la analiticidad es simplemente "diferenciabilidad compleja", si comienzas con algunas funciones analíticas (por ejemplo, constantes, $f(z)=z$, seno, exp, ...) y las combinas con suma, resta, multiplicación y composición de funciones, el resultado seguirá siendo una función analítica (por ejemplo, $f(z)=\cos(\sin(2z-\exp(3z))+7z^5)-\exp(z^2)$).

Entonces tal vez queramos interpretar la pregunta original como referente a las funciones analíticas. Como, por ejemplo, ha dicho lhf, la respuesta sigue siendo "sí". Pero ahora es apenas "sí". Aquí está el porqué.

El teorema de Picard dice que si tienes una función analítica no constante de todo $\Bbb{C}$ a $\Bbb{C}$, entonces hay a lo sumo un valor que nunca toma. Entonces, por ejemplo, puedes encontrar una función así para que $f(z)=0$ no tenga soluciones; pero entonces $f(z)=w$ tendrá soluciones para todos los $w\neq0$.

Y lhf ha señalado otra forma en la que la respuesta es apenas "sí": las únicas funciones enteras ("entera" es una abreviatura de "analítica en todo $\Bbb{C}$") que nunca toman el valor $0$ son aquellas con la forma bastante especial $f(z)=\exp g(z)$ donde $g$ también es una función entera.

Un par de palabras de precaución. Primero: algunas funciones "agradables" no son analíticas. Por ejemplo, ¿qué pasa con las raíces cuadradas? Bueno, incluso en los números reales, si ponemos $f(x)=\sqrt{x}$ entonces $f'(0)$ es infinito. Entonces: no es analítica. Segundo: si una función se vuelve infinita en alguna parte (como, por ejemplo, $1/z$ o $\tan z$) entonces no es analítica. (Pero podría ser meromorfa, lo que significa aproximadamente que es el cociente de dos funciones analíticas, y la versión adecuada del teorema de Picard entonces dice que se le permite no tener exactamente dos puntos, uno de los cuales podría ser $\infty$.)

Answer 3

La función gamma $ z \mapsto \Gamma(z)$ no tiene raíces en el plano complejo.

Observa que $$\cos \left(i\log(2+\sqrt{3})\right)=2$$ por lo tanto $\cos x -2=0$ admite una raíz compleja.

Editar. A partir de $\displaystyle \cos x =\frac12\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)$, se tiene que $$ \begin{align} \cos \left(i\log(2+\sqrt{3})\right)&=\frac12\left(e^{i\left(i\log(2+\sqrt{3})\right)}+e^{-i\left(i\log(2+\sqrt{3})\right)} \right) \\&= \frac12\left(e^{-\log(2+\sqrt{3})}+e^{\log(2+\sqrt{3})} \right) \\&=\frac12\left(\frac1{2+\sqrt{3}}+2+\sqrt{3}\right) \\&=\frac12\left(\frac{2-\sqrt{3}}{4-3}+2+\sqrt{3}\right) \\&=\frac12\left(2-\sqrt{3}+2+\sqrt{3}\right) \\&=\color{red}{2}. \end{align} $$

Answer 4

Si $g$ es una función entera, entonces $f(z)= e^{g(z)}$ es entera y no tiene ceros en el plano complejo.

Este es básicamente el único ejemplo para $f$ entera debido al teorema de factorización de Weierstrass.

Answer 5

Es una propiedad de los polinomios que un polinomio de grado $n$ debe tener exactamente $n$ raíces complejas. Por ejemplo, si tomamos una función como:

$$ f(x) = 3x^2 + 2x -4$$

Su mayor potencia es 2, por lo que debe tener dos raíces complejas, y esto se puede decir para cualquier polinomio con coeficientes reales o complejos. (Sin embargo, algunas raíces pueden tener "multiplicidad", de modo que un polinomio de grado $n$ tenga menos de $n$ valores que den cero; algunas de estas se cuentan como más de una raíz.)

Sin embargo, no existe tal teorema para la mayoría de otras funciones que encuentras: como exponenciales, funciones senoidales, logaritmos y muchas otras. Simplemente pueden no tener raíces en absoluto, o pueden tener múltiples; simplemente no tenemos garantía de que las raíces siempre existan como la tenemos para los polinomios.