Método para encontrar una solución analítica o semianalítica para esta ecuación diferencial

Question

/$a(η)[S/η^2 +Fη^2+Gη^4+Hη^6+J]+a'(η) [K/η+ηZ+η^3 C]+a''(η) [η^2 L+P]=0/$

donde S,F,G,H,J,K,Z,C,L y P son constantes y un(η)

Esta ecuación viene desde el autovalor problema del grafeno nanoring con espín órbita de la interacción y magnectic campo mediante el mexican hat potencial. Para resolver esta ecuación he probado el froebenius método tha no funciona, y el arce de software que no funciona demasiado, el grupo ha encontrado una solución numérica mediante el método de runge-kunta método, sino que es necesario un anathical o semi-analithical solución a compreend la influencia real de los spin-órbita de la interacción en el grafeno.

Me gustaría añadir que esto no es una tarea. De hecho, este es un trabajo continuo con mi asesor y después de más de un mes tratando de obtener esta solución decidí que debía pedir algo de ayuda. Agradezco cualquier referencia o alguna sugerencia que me pueda ayudar con este problema.

Answer 1

No hay muchas posibilidades de una solución cerrada en general. Pero puede obtener soluciones en serie mediante el método de Frobenius, ya que$\eta=0$ es un punto singular regular. La ecuación indicial es$r^2 + \dfrac{K-P}{P} r + \dfrac{S}{P} = 0$.

Si$H=0$ Maple presenta soluciones bastante complicadas de forma cerrada que involucran la función HeunC. En función de esto, para$H \ne 0$ es posible que pueda obtener soluciones como series en potencias de$H$.