¿Determinación de límites de integración, dado un conjunto y una función?

Question

Dado el conjunto de $$C=\{(x,y,z,) : x^2+y^2+z^2 \leq 1 \}$$ Using spherical coordinates, evaluate the function $$Q(C)=\iiint_C \sqrt{x^2+y^2+z^2} \, dx \, dy \, dz$$

Así que... puedo ver que la función se convierte fácilmente en la triple integral de $\rho$.

Mi pregunta es, ¿cuáles son los límites de integración? Mi nuevo libro se habla mucho acerca de los conjuntos, en lugar de formas geométricas, como es un curso de estadísticas. Esta apariencia es casi idéntica a la de hallar el volumen de una esfera, a excepción de la desigualdad. Es esta intuición correcta?

La respuesta me salió con es $\pi$, pero el libro de texto no tiene una solución para este ejercicio en particular.

Answer 1

Si usted tiene $dx\,dy\,dz = \rho^2 \sin\varphi \, d\rho\, d\theta\,d\varphi$ entonces es\begin{align} & \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \int_0^1 \rho (\rho^2\sin\varphi \, d\rho \, d\theta \, d\varphi) \[10pt] = {} & \int_0^\pi\left( \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 \rho^3 \sin\varphi \, d\rho \right) d\theta \right) d\varphi \[10pt] = {} & \int_0^\pi\left( \sin\varphi \left( \int_0^{2\pi} \left( \int_0^1 \rho^3 \, d\rho \right) d\theta \right) \right) d\varphi \text{ since } \sin\varphi \text{ does not depend on } \rho \text{ or } \theta \[10pt] = {} & \int_0^\pi \sin\varphi\,d\varphi \cdot \int_0^{2\pi} \int_0^1 \rho^3 \,d\rho\,d\theta \text{ since the latter integral does not depend on } \varphi \[10pt] = {} & \int_0^\pi \sin\varphi\,d\varphi \cdot \int_0^1 \rho^3 \,d\rho \cdot \int_0^{2\pi} 1\,d\theta \text{ since the inner integral above does not depend on } \theta \[10pt] = {} & 2\cdot \frac 1 4 \cdot 2\pi = \pi. \end {Alinee el}

Tres veces de que hemos utilizado el hecho que $\displaystyle \int \text{constant} \times f(\alpha)\,d\alpha = \text{constant} \times \int_a^b f(\alpha)\,d\alpha.$ "Constante" significa algo que no cambia como $\alpha$ cambios.

Answer 2

Sí, estás en lo correcto. Como el integrando depende solo de$r$, es constante en cada capa esférica y$$\iiint_C \sqrt{x^2+y^2+z^2}\, dx \, dy \, dz=\int_{r=0}^1 r\cdot (\mbox{surface area of the sphere of radius $ r $}) \, dr \\ = \ int_ {r = 0} ^ 1 r \ cdot (4 \ pi r ^ 2) \, dr = 4 \ pi \ cdot \ left [\ frac {r ^ 4} {4} \ right] _0 ^ 1 = \ pi. $$

Answer 3

$\newcommand{\bbx}[1]{\,\bbox[15px,border:1px groove armada]{\displaystyle{#1}}\,} \newcommand{\llaves}[1]{\left\lbrace\,{#1}\,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\,{#1}\,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{\mathrm{d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\expo}[1]{\,\mathrm{e}^{#1}\,} \newcommand{\ic}{\mathrm{i}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mrm}[1]{\mathrm{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\,{#1}\,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\parcial #3^{#1}}} \newcommand{\raíz}[2][]{\,\sqrt[#1]{\,{#2}\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{\mathrm{d}^{#1} #2}{\mathrm{d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\,{#1}\,\right\vert}$ \begin{align} &\iiint_{x^{2} + y^{2} + z^{2} < 1}\root{x^{2} + y^{2} + z^{2}}\, \dd x\,\dd y\,\dd z = \iiint_{r < 1}r\,\dd^{3}\vec{r} = \iiint_{r < 1}{\nabla\cdot\pars{r\vec{r} \over 4}}\,\dd^{3}\vec{r} \\[5mm] = &\ \iint_{r = 1}{r\ \vec{r} \over 4}\cdot\,\dd\vec{S}\qquad \pars{Gauss\ Divergence\ Theorem} \\[5mm] = &\ {1 \over 4}\iint_{r = 1}{\vec{r}\cdot\,\dd\vec{S} \over r^{2}} = {1 \over 4}\int_{\Omega_{\vec{r}}}\dd\Omega_{\vec{r}} = {1 \over 4}\,4\pi = \bbx{\pi}\qquad \pars{~\Omega_{\vec{r}}:\ Solid\ Angle~} \end{align}