Cómo mostrar que$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}(n-1)\Phi(x)^{n-2}\phi(x)^2dx$? disminuye en$n$?

Question

Estaba trabajando en un proyecto de investigación que implica tomar la integral de

$$(n-1)\int\limits_{-\infty}^{+\infty} \Phi\left(x\right)^{n-2}\phi\left(x\right)^2dx,$$ where $ \ Phi (.)$ is the CDF for standard normal, $ \ Phi$ the PDF, $ \ alpha> 0$ and $ n \ in \ mathbb {Z}$ and $ n > 3 $.

Eventualmente, deseo mostrar que la expresión completa disminuye monótonamente a medida que aumenta el$n$.

Cualquier ayuda sobre esto será muy apreciada. ¡Gracias!

Answer 1

Una integración por partes usando$u=\varphi$ y$v'=(n-1)\varphi\Phi^{n-2}$, por lo tanto$u'(x)=-x\varphi(x)$ y$v=\Phi^{n-1}$, muestra que el$n$ th término es$$A_n=\int_\mathbb Rx\varphi(x)\Phi(x)^{n-1}\mathrm dx=\int_0^\infty x\varphi(x)B_n(\Phi(x))\mathrm dx,$$ where $$B_n(t)=t^{n-1}-(1-t)^{n-1}.$ $ Por cada$t$ en$(\frac12,1)$ y cada$n\geqslant3$,$$B_n(t)-B_{n-1}(t)=t(1-t)((1-t)^{n-3}-t^{n-3})\leqslant0,$$ hence $ A_n \ leqslant A_ {n-1}$, that is, the sequence $ (A_n) _ {n \ geqslant2} $ no aumenta.