Un extraño integral tienen que ver con el segundo ' sueño:

Question

Recientemente me di cuenta de que esta ecuación realmente extraña realmente lleva una forma cerrada!

$$\int_0^1 \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x=0$$

Honestamente no sé cómo probar este increíble resultado! No sé suficiente acerca de las propiedades integrales de sueño del estudiante de segundo año para responder a esta pregunta, que he estado intentando aplicar aquí. (Si es posible, por favor estancia métodos real, como no sé contorno integración todavía)

Answer 1

Es importante tener en cuenta cierta simetría:

Tenga en cuenta: $$I=\int_0^1 \frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}\text{d}x$ $

Si sustituye $x\to 1-x, \text{d}x\to -\text{d}x$

Te queda:

$$I=-\int_{1-0}^{1-1}\frac{(1-x)^{(1-x)}}{(1-(1-x))^{(1-(1-x))}}\text{d}x=\int_0^1 \frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\text{d}x$$

Y su integral es $I-I=0$, su resultado. Incluso no necesitas saber $x^x$ propiedades.

De hecho, esto puede ser más generalizado:

$$\int_0^1 \frac{f(x)}{f(1-x)}\text{d}x=\int_0^1 \frac{f(1-x)}{f(x)}\text{d}x$$

Answer 2

Así que tienes una integral: $$I = \int_0^1 \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x$$

Vamos a dividir el área de la integración por la mitad:

$$I = \int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x + \int_{\tfrac 12}^1 \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x $$

y el sustituto de la $y=1-x$ en el segundo término:

$$I = \int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x + \int_{\tfrac 12}^0 \left(\frac{(1-y)^{1-y}}{y^y}-\frac{y^y}{(1-y)^{1-y}}\right)(-\text{d}y) $$ $$ =\int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x + \int_{\tfrac 12}^0 \left(\frac{y^y}{(1-y)^{1-y}}-\frac{(1-y)^{1-y}}{y^y}\right)\text{d}y $$

Ahora podemos cambiar los límites de integración para $y$: $$I = \int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x - \int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{y^y}{(1-y)^{1-y}}-\frac{(1-y)^{1-y}}{y^y}\right)\text{d}y $$ y después de unos minutos de mirar hacia arriba vemos la expresión es $$I = K - K$$ con $$K = \int_0^{\tfrac 12} \left(\frac{x^x}{(1-x)^{1-x}}-\frac{(1-x)^{1-x}}{x^x}\right)\text{d}x$$

Por lo tanto $I = 0$.