Caracterización abstracta de Borel $ \sigma $ -algebras

Question

Supongamos que se nos da un espacio de medida $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ pero no sabemos nada más que esta información. (Asume que $ \mu $ es una función positiva, extendida y de valor real). ¿Hay alguna forma "agradable" de saber si existe o no un espacio topológico $Y$ y un medida $ \nu $ en el Los juegos de Borel $B(Y)$ de $Y$ de tal manera que hay una bijección bimestral entre $X$ y $Y$ es decir, una medida de isomorfismo espacial de $(X, \mathfrak {M}, \mu )$ con $(Y,B(Y), \nu )$ ?

O esta pregunta es ridícula como se ha hecho, o probablemente hay algún tipo de negocio teórico relacionado con ella... ¡lo siento si es lo primero!

Answer 1

No todos $ \sigma $ -La álgebra es el Borel $ \sigma $ -algebra de un espacio topológico así que la respuesta es no.

Pero hay un sentido en el que la respuesta es casi un sí para los espacios de probabilidad. Si identificamos conjuntos medibles $A$ y $B$ si $ \mu (A \Delta B)=0$ obtenemos una medida de ágebra $(A, \mu )$ donde $A$ contiene las clases de equivalencia y $ \mu $ se define de forma obvia. Si la medida subyacente del espacio es sin átomos, nos quedamos con un teorema de representación de Maharam que $(A, \mu )$ coincide con el álgebra de medida de una combinación contable convexa de espacios de probabilidad de lanzamiento de monedas $\{0,1\}^ \kappa $ .

El resultado puede generalizarse a ciertos espacios de medida que no son sin átomos y que podrían ser infinitos. El volumen 3 de El tratado de Fremlin discute estas cosas con gran detalle.