El siguiente es poco profunda, pero es otra caracterización de la propiedad que usted está interesado en.
Reclamo: Vamos a $(A_i)_{i\in I}$ ser una familia de álgebras. Para cada una de las $i$, los siguientes son equivalentes:
- $A_i$ incrusta en $\prod_{j\in I}A_j$.
- Hay un homomorphism (no necesariamente una incrustación) $A_i\rightarrow \prod_{j\in I} A_j$.
- Para todos los $j\in I$, hay un homomorphism $f_j: A_i\rightarrow A_j$.
Prueba: (1 $\rightarrow$ 2) Una incrustación es un homomorphism.
(2 $\rightarrow$ 3) Deje $g:A_i\rightarrow \prod_{j\in I}A_j$ ser un homomorphism. Para cada una de las $j$, vamos a $\pi_j:\prod_{j\in I} A_j$ ser la proyección en el $j^\text{th}$ coordinar. A continuación, $\pi_j\circ g$ es un homomorphism $A_i\rightarrow A_j$.
(3 $\rightarrow$ 1) Considerar el mapa de $g:A_i\rightarrow \prod_{j\in I}A_j$ $f_j$ $j^\text{th}$ de coordenadas para todos los $j\neq i$ $\text{id}_{A_i}$ $i^\text{th}$ coordinar. $g$ es una incrustación, ya que si $a\neq b$ en $A_i$, $g(a)$ y $g(b)$ difieren en la $i^\text{th}$ coordinar.
Edit: Después de un poco más de pensamiento, me di cuenta de que algo mucho más fuerte que lo que yo había escrito originalmente por debajo de la ruptura es cierto. Estoy seguro de que esto es bien conocido por el universal algebraists, pero aún no se me ocurrió antes.
Deje $V$ ser una variedad de álgebras en una firma de $L$. Se denota el inicial álgebra $0$ y el terminal de álgebra $1$.
Reclamo: Los siguientes son equivalentes:
- Para cada familia $(A_j)_{j\in I}$ y cada una de las $i\in I$, hay una incrustación $A_i \hookrightarrow \prod_{j\in I} A_j$.
- Para cada $A,B\in V$, hay un homomorphism $A\rightarrow B$.
- Hay un homomorphism $1\rightarrow 0$.
- $1\cong 0$.
- No es exactamente una constante, $c\in L$ hasta comprobable igualdad (es decir, para todas las constantes $d\in L$, la ecuación de $d = c$ mantiene en $V$), y para todas las operaciones de $f(x_1,\dots,x_n)\in L$, la ecuación de $f(c,\dots,c) = c$ mantiene en $V$.
Tenga en cuenta que si usted está dispuesto a ver las constantes como $0$-ary las operaciones, podemos ver la condición de $d = c$ para todas las constantes $d$ como un caso especial de la ecuación de $f(c,\dots,c) = c$ para todas las operaciones de $f$.
Prueba: (1 $\leftrightarrow$ 2) Suponiendo (1), Dado $A$ y $B$, $A$ se integra en el producto $A\times B$, así que por la parte anterior hay un homomorphism $A\rightarrow B$. Por el contrario, dado $A_i$$\prod_{j\in I}A_j$, por (2) hay un homomorphism $A_i\rightarrow A_j$ todos los $j\in I$, así que por la parte anterior $A_i$ incrusta en el producto.
(2 $\leftrightarrow$ 3) tenga en cuenta que (3) es un caso especial de (2). Por el contrario, dado $A$$B$, podemos componer la homomorphism $1\rightarrow 0$ con los mapas únicos en $1$ y de $0$: $A\rightarrow 1 \rightarrow 0 \rightarrow B$.
(3 $\rightarrow$ 5) Si no hay constantes en $L$, $0$ está vacía, así que no hay ninguna función $1\rightarrow 0$. Escoge un constante $c\in L$. A continuación, para cada constante $d\in L$ y cada función de $f\in L$, las ecuaciones $c = d$ $f(c,\dots,c) = c$ mantener en $1$, por lo que deben mantener en $0$ (desde $1$ mapas a $0$, el envío de $c$$c$), y de ahí que se sostenga en todas partes en $V$ (desde $0$ mapas de todo, el envío de $c$$c$).
(5 $\rightarrow$ 4) La inicial álgebra $0$ puede ser construido como el conjunto de todos los $L$-términos, sin que ninguna de las variables, modulo comprobable de equivalencia. Por las ecuaciones supone mantener en $V$, cada término es seguramente igual a $c$, y, por tanto, $0$ tiene exactamente un elemento, y la evidente mapa de $1\rightarrow 0$ es un isomorfismo.
(4 $\rightarrow$ 3) Esto es claro.
Cuando se cumplen estas condiciones, la llamada de los objetos que son de inicial y el terminal "cero objetos". Entonces, el fortalecimiento de la 2, para cualquier $A,B\in V$, hay un canónica cero homomorphism $A\rightarrow B$, el único mapa que factores como $A\rightarrow 0\rightarrow B$. Y el fortalecimiento de la 1, hay una canónica de la incrustación $A_i\rightarrow \prod_{j\in I} A_j$, que es el mapa de identidad en el $i^\text{th}$ de coordenadas y el cero mapa en cada coordenada.
Esto es lo que sucede, por ejemplo, en el caso de grupos, monoids, semilattices, generadores de números aleatorios (anillos sin unidad), etc.
