Compute$1^2 + 3^2+ 5^2 + \cdots + (2n-1)^2$ por inducción matemática

Question

Yo estoy haciendo la inducción matemática. Estoy atascado con la siguiente pregunta. El lado izquierdo es no ser igual para el lado derecho.
Por favor me guía de cómo hacerlo más.

$1^2 + 3^2+ 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)$.

Sol:

$P(n):\ 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2n-1)^2 = \frac{1}{3}n(2n-1)(2n+1)$.

Para $n=n_1 = 1$

$$P(1) = \frac{1}{3}{3} = (1)^2.$$ Por lo tanto es cierto para $n=n_0 = 1$.

Deja de ser cierto para $n=k$ $$P(k): 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2 = \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1).$$ Tenemos que probar que es cierto para $P(k+1)$. $$P(k+1) = 1^1+3^2+5^2+\cdots+(2k+1)^2 = \frac{1}{3}(k+1)(2k+1)(2k+3)\tag{A}.$$

Tomando LHS: $$\begin{align*} 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 &= 1^2+3^2+5^2+\cdots + (2k+1)^2\\ &= 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2\\ &= \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)^2\\ &=\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}\\ &=\frac{(2k+1)}{3}\left[k(2k-1) + 3(2k+1)\right]\\ &=\frac{(2k+1)}{3}\left[2k^2 - k + 6k + 3\right]\\ &=\frac{1}{3}(2k+1)(2k^2 +5k + 3)\\ &=\frac{1}{3}(2k+1)(k+1)\left(k+\frac{3}{2}\right) \tag{B} \end{align*}$$

EDITAR:

La solución de EQ (A):

$=(1/3)(2k^2+5K+3) (2K+1) \tag{C}$

La comparación de EQ(B) y EQ(C)

Por lo tanto demostrado que es cierto para $n = k+1.$

Por lo tanto la proposición es verdadera para todos los $n >= 1$.

Gracias.

Answer 1

NOTA: No digo nada diferente, antes de que alguien comience a comentar que mi respuesta no es diferente.

$$ \begin{align*} 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k+1)^2 &= 1^2+3^2+5^2+\cdots + (2k+1)^2\\ &= 1^2 + 3^2 + 5^2 + \cdots + (2k-1)^2 + (2k+1)^2\\ &= \frac{1}{3}k(2k-1)(2k+1) + (2k+1)^2\\ &=\frac{k(2k-1)(2k+1)+3(2k+1)^2}{3}\\ &=\frac{(2k+1)}{3}\left[k(2k-1) + 3(2k+1)\right]\\ &=\frac{(2k+1)}{3}\left[2k^2 - k + 6k + 3\right]\\ &=\frac{1}{3}(2k+1)(2k^2 +5k + 3)\\ &=\frac{1}{3}(2k+1) \hspace{3pt}\left[(k+1)(2k+3)\right] \\ &= \frac{1}{3} (k+1)(2(k+1)-1)(2(k+1)+1) \end {align *} $$

La última línea muestra que el resultado es verdadero para$n=k+1$

Answer 2

Todo está bien excepto por la última línea. De alguna manera perdiste un factor de dos. La penúltima línea ya es el resultado que desea, ya que$2k^2+5k+3=(k+1)(2k+3)$.