¿Es erróneo el análisis dimensional?

Question

En muchos manuales de física se presenta el análisis dimensional como un método válido para deducir ecuaciones físicas. Por ejemplo, se suele afirmar que el periodo de un péndulo no puede depender de su masa porque, de ser así, las unidades no coincidirían.

Sin embargo, creo que este tipo de argumento no es correcto.

Imaginemos que intentamos deducir la ley de Coulomb. Haríamos una conjetura al afirmar que la fuerza entre dos cargas depende de su carga y de la distancia. Sin embargo es obvio que no es posible obtener la unidad Newton a partir de Coulombs y Metros. Si repitiéramos el argumento que utilizamos con el péndulo, obtendríamos una ley diferente para la fuerza entre dos cargas.

¿Me equivoco? Si no es así, ¿por qué y cuándo se utiliza el análisis dimensional?

Answer 1

El análisis dimensional se utiliza cuando se intenta averiguar cómo combinar un determinado conjunto de parámetros (las "entradas") para obtener una cantidad con un determinado conjunto de unidades (la "salida"). Sólo funciona bajo los siguientes supuestos:

• Sabes cuáles son todas tus entradas, y la lista de entradas es finita;

• No hay redundancias en su lista de entradas (es decir, cada entrada tiene unidades diferentes), o, si hay redundancias, debe haber información adicional que restrinja el comportamiento de las entradas redundantes (por ejemplo, "la fuerza de Coulomb debe implicar tanto como "). $Q_1$ y $Q_2$ ");

• Cada una de estas cantidades se expresa en unidades compatibles entre sí y con su salida (en la práctica, esto significa que cada una de ellas debe poder expresarse únicamente en unidades de base SI);

• Se supone que los factores constantes son números puros, y

• El número de términos aditivos debe ser finito.

Si se cumplen estos supuestos, el análisis dimensional arrojará un conjunto de posibles combinaciones de entradas ("fórmulas") que tendrán las mismas unidades que su salida. Si tiene suerte, sólo habrá una; si no, habrá unas cuantas, que servirán como argumentos para una función arbitraria (esto se deduce del teorema de Buckingham Pi).

Probemos este procedimiento con tus dos ejemplos. En el primero, tenemos un péndulo. Nuestra salida es el periodo, que tiene unidades de tiempo ( $T$ ). Las entradas son:

• La longitud de la varilla del péndulo, que tiene unidades de longitud ( $L$ );

• La aceleración gravitatoria local, que tiene unidades $\frac{L}{T^2}$ y

• La masa del péndulo, que tiene unidades de masa ( $M$ ) (ya que no sabemos a priori que no puede ser una entrada, la incluimos como posible entrada).

Utilizando el análisis dimensional, podemos restringir las posibles formas de la fórmula utilizando la siguiente ecuación y resolviendo las potencias $a$ , $b$ y $c$ :

$$T=L^a\left(\frac{L}{T^2}\right)^bM^c$$

donde $k$ es una constante de proporcionalidad sin unidades. Igualando las potencias de $L$ , $T$ y $M$ en el lado izquierdo con sus potencias en el lado derecho:

$$0=a+b\quad\quad\quad 1=-2b\quad\quad\quad 0=c$$

Resolviendo este sistema se obtiene $a=\frac{1}{2}$ , $b=-\frac{1}{2}$ , $c=0$ . Así que, aunque antes no sabíamos que el periodo no dependía de la masa, acabamos de demostrar que es así, suponiendo que nuestra lista de entradas estaba completa. Sustituyendo de nuevo las potencias en la expresión original, obtenemos una expresión para el periodo $\tau$ :

$$\tau=k \ell^{1/2}g^{-1/2}m^0=k\sqrt{\frac{\ell}{g}}$$

Como la solución del sistema lineal anterior es única, sólo hay un término.

Para la ley de Coulomb, debemos utilizar un sistema en el que las unidades de cada cantidad sean compatibles; como tal, utilizamos unidades electromagnéticas gaussianas, en las que la carga tiene unidades de $M^{1/2}L^{3/2}T^{-1}$ (es decir, unidades de g $^{1/2}$ cm $^{3/2}$ /s). Las unidades de la separación son, por supuesto, $L$ . En este caso, tenemos tres entradas: las dos cargas $Q_1$ y $Q_2$ que tienen ambas las unidades anteriores, y la separación entre las cargas. Nuestra salida es la fuerza, que tiene unidades de $MLT^{-2}$ (es decir, g cm/s $^2$ ). Establecer de nuevo el análisis dimensional:

$$MLT^{-2}=(M^{1/2}L^{3/2}T^{-1})^a(M^{1/2}L^{3/2}T^{-1})^bL^c$$

Resolver los poderes:

$$1=\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\quad\quad\quad 1=\frac{3a}{2}+\frac{3b}{2}+c\quad\quad\quad -2=-a-b$$

Este sistema es degenerado, y te da un parámetro libre, así que $(a,b,c)=(a,2-a,-2)$ . Como tal, la forma general abstracta de la fuerza que se obtiene con el análisis dimensional es

$$F=f\left(\left\{k_a\frac{Q_1^aQ_2^{2-a}}{r^2}\right\}_{a\in\mathbb{R}}\right)$$

para una función arbitraria $f$ . Obsérvese que obtenemos inmediatamente el $1/r^2$ naturaleza de la fuerza sólo a través del análisis dimensional. También es muy fácil eliminar experimentalmente todos menos uno de estos posibles argumentos, invocando un dato adicional, que puede deducirse fácilmente del experimento: la simetría de intercambio. La fuerza sobre dos cargas no cambia si intercambiamos las dos cargas entre sí. Esto significa que las fuerzas sobre $Q_1$ y $Q_2$ deben ser iguales. Por lo tanto, las únicas potencias posibles son $(a,b,c)=(1,1,-2)$ . Esta información empírica adicional elimina la redundancia en este análisis dimensional, y así llegamos a la fórmula correcta:

$$F=k\frac{Q_1Q_2}{r^2}$$

Todo esto viene con una advertencia importante: si hay una entrada que no conoces y no incluyes, entonces podrías obtener una fórmula completamente diferente. Por ejemplo, volvamos al péndulo. Supongamos que, en este caso, la varilla es ligeramente elástica, con una constante de resorte efectiva $K$ que tiene las unidades habituales de N/m, o abstractamente $MT^{-2}$ . Ahora, rehaciendo el análisis dimensional se obtiene:

$$T=L^a\left(\frac{L}{T^2}\right)^b M^c \left(\frac{M}{T^2}\right)^d$$

Lo que da como resultado el siguiente sistema:

$$0=a+b\quad\quad\quad 1=-2b-2d\quad\quad\quad 0=c+d$$

Nótese que hay 4 variables y 3 ecuaciones, por lo que hay 1 parámetro libre, que tomaré como $c$ . Como tal, resolvemos el sistema para obtener $(a,b,c,d)=(-c+1/2,c-1/2,c,-c)$ lo que nos da una fórmula general abstracta:

$$\tau=f\left(\left\{ k_c\left(\frac{\ell}{g}\right)^{1/2-c}\left(\frac{m}{K}\right)^c\right\}_{c\in\mathbb{R}}\right)$$

para una función arbitraria $f$ . Ahora bien, si $c$ es distinto de cero, entonces el período de un péndulo ligeramente elástico hace dependen de la masa del péndulo, y hay que medir la forma particular en que lo hace.

Pero ahora consideremos el límite de una elasticidad muy ligera (es decir, el límite de una gran $K$ ). De forma equivalente, supongamos $\tau$ varía lo suficientemente despacio con $m/K$ que $\log\tau$ vs. $\log(m/K)$ está bien aproximada por una línea. Esto significa que sólo hay un término distinto de cero en el conjunto de argumentos anterior, ya que un diagrama logarítmico lineal corresponde a un comportamiento de ley de potencia. Esto simplifica considerablemente nuestra expresión:

$$\log\tau=\log k+\left(\frac{1}{2}-c\right)\log\left(\frac{\ell}{g}\right)+c\log\left(\frac{m}{K}\right)$$

Por lo tanto, hemos reducido una tarea física complicada (encontrar el período de un péndulo con una varilla ligeramente elástica) a la tarea mucho más fácil de encontrar empíricamente las dos constantes $k $ y $c $ .

Answer 2

En ingeniería y ciencias, el análisis dimensional es el análisis de las relaciones entre distintas magnitudes físicas mediante la identificación de sus magnitudes de base (como longitud, masa, tiempo y carga eléctrica) y unidades de medida (como millas frente a kilómetros, o libras frente a kilogramos frente a gramos) y el seguimiento de estas dimensiones a medida que se realizan cálculos o comparaciones. La conversión de una unidad dimensional a otra suele ser algo compleja. El análisis dimensional, o más concretamente el método del factor-etiqueta, también conocido como método de la unidad-factor, es una técnica muy utilizada para realizar este tipo de conversiones utilizando las reglas del álgebra.

Así que una ecuación que es dimensionalmente correcta puede ser errónea. Pero una ecuación que es dimensionalmente incorrecta es definitivamente incorrecta.

Answer 3

Obviamente no es el análisis dimensional para estar equivocado. Es erróneo si uno intenta basarse sólo en él para encontrar leyes físicas, a pesar de que representa claramente una muy buena ayuda para nosotros.

En el ejemplo del péndulo, el argumento es: puesto que el sistema está descrito por sólo tres parámetros que son la longitud del péndulo, su masa y la gravedad, entonces la expresión del periodo (que en este punto sólo puede depender de ellos) debe ser algo proporcional a $\sqrt{L/g}$ . Pero ese es un caso muy particular y no se puede utilizar el mismo razonamiento en todas las situaciones. Con la ley de Coulomb, sólo sabes que puede depender de la distancia y que implica cargas, pero estas dos cantidades por sí solas no bastan para determinar una fórmula para una fuerza. Para que este caso sea similar al del péndulo, deberías tener la información de cuáles son todos los parámetros que entran en la física del sistema. Y efectivamente, si alguien nos da la información de que el otro (único) parámetro que se necesita es la constante de Coulomb $k$ y utilizando el análisis dimensional obtenemos finalmente la expresión de la fuerza de Coulomb.

Sin embargo, este uso del análisis dimensional no puede funcionar en todos los casos. Si en el fenómeno de estudio hay muchas cantidades, entonces probablemente haya muchas combinaciones de ellas que den un resultado plausible para la expresión que buscamos. En este punto yo diría que este tipo de papel del análisis dimensional es perfectamente lícito a posteriori y deben manipularse con cuidado. Y permítanme añadir, en todos los casos debe haber una intuición física detrás.

En cuanto a tu última pregunta, tras el problema anterior, el análisis dimensional es una herramienta útil para comprobar si un resultado es correcto o no, o para obtener algunas pistas sobre las posibles dependencias de una cantidad, etc.

Answer 4

O tu libro te está engañando, o estás leyendo mal el libro. En cualquier caso, el análisis dimensional es no una herramienta para deducir ecuaciones físicas. Se puede utilizar como comprobación de validez del uso que haces de las ecuaciones, para asegurarte de que has utilizado las correctas, pero si no conocieras la ley, no podrías deducirla a partir de las unidades.

Considera la ley de Hook. Es la más fácil. Es una relación entre la fuerza sobre un muelle y su desplazamiento. Normalmente la aprendemos como $F=kX$ donde $k$ es la constante elástica de este muelle en particular. Por la lógica que describes, deberías poder deducir que la fuerza no depende de la masa del muelle porque las unidades en $k$ son $\frac{N}{m}$ . Pero como usted señala, esto es al revés. Si ya conocía que la ley Hooks era válida para muelles y tú conocía que la dimensionalidad de $k$ es $\frac{force}{length}$ entonces quizá puedas llegar a alguna conclusión. Pero, como te das cuenta, eso es un poco confuso.

Si dedujéramos leyes a partir de observaciones, lo que observaríamos es en realidad $F\propto X$ la fuerza es proporcional a la desviación. Esto se puede observar desviando un muelle a varias posiciones y observando las fuerzas.

Cuando tenemos una proporcionalidad de este tipo, siempre podemos reescribirla como una igualdad añadiendo una constante. Así, $F\propto X \Rightarrow F=kX$ A continuación defina que las unidades de k sean las correctas para que funcione el análisis dimensional.

Por eso, a la hora de plantear las ecuaciones, el análisis dimensional no ayuda. Sin embargo, al utilizarlos, es una forma increíblemente buena de asegurarse de que no se ha pasado nada por alto. Por ejemplo, es muy fácil confundir peso y masa. Pero el peso es una fuerza y la masa es masa, así que si confundes uno con otro y haces el análisis unitario, te darás cuenta rápidamente de que cometiste un error en alguna parte.

Del mismo modo, si cometes un simple error de álgebra, el análisis dimensional puede ayudarte. Si haces un montón de cálculos matemáticos y se supone que llegarías a la ecuación $E=\frac{1}{2}mv^2$ pero debido a tu error tienes $E=\frac{1}{2}mv$ un análisis dimensional mostrará rápidamente que algo va mal.

Answer 5

El análisis dimensional es sólo una herramienta para comprobar corrección El ejemplo que usted ha dado sobre el péndulo simple es irrelevante porque, siguiendo sus palabras, puedo simplemente introducir una constante, digamos la constante a, para que la ecuación sea dimensionalmente correcta.

Por otra parte como he dicho es sólo una herramienta para comprobar corrección de una ecuación, por lo que si una ecuación es dimensionalmente correcta no significa simplemente que sea correcta, ya que puede haber constantes sin dimensión y términos en exceso que se cancelan dimensionalmente.