"Cualquiera"; ¿cuantificador universal o existencial?

Question

Para cualquier número entero $m$ y $n$ , si $7m+5n=147$ entonces $m$ es impar o $n$ es impar.

$$Q(m,n) \equiv 7m+5n=147$$

$$mn: Q(m,n) \bigl(m \not\equiv 0 \!\!\pmod 2 \lor n \not\equiv 0 \!\! \pmod 2\bigr)$$

¿Estoy en lo cierto al suponer $\forall$ significa "cualquier" en este caso? No me parece que tenga sentido ( $\exists$ para mí significa "al menos uno, muchos, uno, todos menos uno, etc.; cualquier cosa menos que todos pero más que ninguno"), pero Wikipedia afirma que $\forall$ también puede significar "para cualquiera".

¿Es esto correcto?

Answer 1

Sí, "para cualquiera" significa "para todos". $\forall$ . "Cualquiera" implica que eliges un número entero arbitrario, por lo que debe ser cierto para todos ellos.

En cuanto a los mods: normalmente, no se expresa como un operador, sino como una especie de relación de equivalencia: $a \equiv b \pmod{n}$ significa que $n$ divide $a - b$ . Así que se escribiría "m es impar" como $m \equiv 1 \pmod 2$ .

Answer 2

$\forall m$ se suele leer para todos los m o para cada m ; para cualquier m es una posible paráfrasis en algunos contextos. $\forall x\big(\varphi(x)\big)$ significa que para todos los valores posibles de $x$ en el ámbito del discurso, la afirmación $\varphi(x)$ sobre $x$ es cierto. Si piensas en $\varphi(x)$ como diciendo que $x$ tiene alguna propiedad particular, entonces $\forall x\big(\varphi(x)\big)$ dice que todo elemento del dominio del discurso tiene esa propiedad.

Su comprensión de $\exists$ sin embargo, no es del todo correcto; $\exists m\big(\varphi(m)\big)$ significa precisamente que hay al menos una cosa en el dominio del discurso que tiene la propiedad en cuestión. Esto significa que no excluir la posibilidad de que cada elemento del dominio del discurso lo tenga. Por ejemplo, si hablamos de números enteros, $\exists n(n\text{is even }\lor n\text{ is odd}\}$ es una afirmación verdadera, aunque $\forall n(n\text{is even }\lor n\text{ is odd}\}$ también es cierto.

Answer 3

Si una afirmación es verdadera "para todos", implica que es verdadera para un subconjunto o, en este caso, para un elemento cualquiera.