Supongamos que $M : L$ y $L : K$ son extensiones, y que $\alpha \in M$ es algebraico sobre $K$ . ¿Tiene $[L(\alpha):L]$ divide siempre $[K(\alpha):K]$ ?

Question

Suponiendo que $\alpha \in M$ es algebraico sobre $K$ entonces sabemos que $[M(\alpha):L]<\infty$ y $[L(\alpha):K]<\infty$ utilizando la ley de la torre.

¿Cómo puedo informarme sobre $[K(\alpha):K]$ o $[L(\alpha):L]$ de esta información?

Answer 1

Considere $K = \mathbb{Q}$ , $L = \mathbb{Q}(\sqrt[3]2)$ et $\alpha = \zeta\sqrt[3]2$ donde $\zeta$ es una raíz cúbica primitiva de la unidad.

Entonces $[L(\alpha):L] = 2$ y $[\mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] = 3$ .