Cómo demostrar esto el vector es un vector propio con el valor propio $1$

Question

Deje $A$ ser un elemento de $SO_{3}$,muestran que si se define el vector $$((a_{23}+a_{32})^{-1},(a_{13}+a_{31})^{-1},(a_{12}+a_{21})^{-1})^T$$ es un autovector con autovalor $1$

He encontrado esto de forma Cerrada para los vectores propios de la matriz de rotación

He conocido este: ifIf $A \in SO_{3}(R)$, $A$ tiene un autovalor $\lambda=1$, consulte la página 22 la prueba:https://www.math.ucdavis.edu/~mathclub/cheat_sheets/notas.150B.pdf

Pero no puedo demostrar mi problema ,Gracias

Answer 1

Para elaborar user1551 comentario : desde $A$ es un elemento de $SO_3$, es una rotación alrededor de un eje. Deje $\overrightarrow{k}=(k_1,k_2,k_3)$ ser un director de vector para el eje y llame a $\theta$ el ángulo.

Entonces, Rodrigues de la fórmula (demostrado en Wikipedia) nos dice que para cualquier vector $\overrightarrow{x}$ ,

$$ Un\overrightarrow{x}=(\cos(\theta))\overrightarrow{x}+ (\sin(\theta))(\overrightarrow{k} \wedge \overrightarrow{x})+ (1-\cos(\theta))(\overrightarrow{k}.\overrightarrow{x}) \overrightarrow{k} \etiqueta{1} $$

Y por lo tanto

$$ A=\left( \begin{array}{ccc} \cos(\theta) & 0 & 0 \\ 0 & \cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & \cos(\theta) \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} & -k_3\sin(\theta) & k_2\sin(\theta) \\ k_3\sin(\theta) & 0 & -k_1\sin(\theta) \\ -k_2\sin(\theta) & k_1\sin(\theta) & 0 \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{ccc} k_1^2(1-\cos(\theta)) & k_1k_2(1-\cos(\theta)) & k_1k_3(1-\cos(\theta)) \\ k_1k_2(1-\cos(\theta)) & k_2^2(1-\cos(\theta)) & k_2k_3(1-\cos(\theta)) \\ k_1k_3(1-\cos(\theta)) & k_2k_3(1-\cos(\theta)) & k_3^2(1-\cos(\theta)) \\ \end{array} \right) \etiqueta{2} $$

Podemos deducir que para $i\neq j$,

$$ a_{ij}+a_{ji}=2k_ik_j(1-\cos(\theta)), \text{para} \ \frac{1}{a_{ij}+a_{ji}}=\lambda k_{6-(i+j)} \etiqueta{3} $$

donde $\lambda$ es la constante de $\frac{k_1k_2k_3}{2(1-\cos(\theta))}$. El resultado es claro.