Variables al azar sin correlación pero no independientes

Question

¿Es posible construir dos variables aleatorias $X, Y$ ambos de ellos asumiendo exactamente dos valores no nulos que son sin correlación, i. e. $\mathbf{E}[X \, Y] = \mathbf{E}[X]\,\mathbf{E}[Y]$, pero no independiente?

Si no es posible, ¿cuál es el ejemplo más sencillo de cero variables aleatorias discretas que son sin correlación pero no independientes?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Que $X$ ser un estándar normal variable al azar y que $Y = X^2$.

Tendremos, desde $E(X) = E(X^3) = 0$ $E(XY) = E(X^3) = 0 =E(X)E(Y).$

Sin embargo, no son independientes:

$$P(0<x>1) = 0 \neq P(0<x>1)$$</x></x>

Para un ejemplo sencillo y discreto, $X_1$ y $X_2$ independiente variables al azar cada uno toma los valores en ${0,1}$ $P(X_i = 0) = P(X_i=1) = 1/2$. Que $X = X_1 + X_2$ y $Y = X_1 - X_2$.

Tenemos $E(X) = 1$, $E(Y) = 0$ y $E(XY) = 0$. Por lo tanto, $E(XY) = E(X)E(Y)$.

$P(X=0,Y=0) = 1/4 \neq P(X=0)P(Y=0) = 1/8.$