¿Es cualquier foliación en un toro 2 inducido por un flujo adecuado?

Question

Considere la posibilidad de la 2-dimensional torus $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$, y una foliación (por ejemplo, una foliación en círculos, tal vez la partición del toro obtuvo un Hopfrelacionados con el mapa). Me pregunto si hay alguna condición en la foliación (la unión) de las curvas integrales de un campo vectorial $X_\tau$ definido en el toro...

Nota: claramente se puede pedir algo más general (grupo genérico de acción sobre una suave colector de cuyas órbitas son las hojas de una foliación), pero yo soy muy tonto en hacer el bien (=bien definido) preguntas, así que por el momento vamos a hablar de un caso particular.

Nota 2: no estoy exigiendo mucho la suavidad de $X_\tau$ sólo porque sospecho que la respuesta será "No si supongamos $X_\tau$ no $C^k$-suave con $k\ge k_0$".

Muchas gracias!

Answer 1

Una foliación de un toro no deberían surgir de un campo de vectores, debido a que su tangente de la línea de campo puede ser no-orientable.

E. g., representa al toro por un cuadrado cuyos lados opuestos son identificados, creo que de una pila de arcos (convexa hacia abajo) llenando la plaza, excepto para los lados verticales-que constituirá un único y cerrado de la hoja.

En términos de $\mathbb T^2 = \mathbb R^2 / \mathbb Z^2$, esto es representado por la real analítica de la tangente a la línea de campo definido por

$$L(x,y) := \exp((x + 1/2) \pi i)$$

donde antipodal puntos en el círculo de los ángulos son identificados.