Quiero encontrar un ejemplo de dos medidas finitas $\mu$ y $\nu$ en un espacio de medida $(X,S)$ $\mu(X)=\nu(X)$ tal que {$A\in S: \mu(A)=\nu(A)$} no es una $\sigma$-álgebra.
¿Alguien me puede ayudar?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En $X={a,b,c,d}$, elija $\mu$ uniforme en ${a,b}$ y $\nu$ uniforme en ${c,d}$. Entonces $\mu(A)=\nu(A)$ $A={a,c}$ y $A={a,d}$ pero no para $A={a}$. La clase de ${A\subseteq X\mid\mu(A)=\nu(A)}$ no es un sigma-algebra ya que no es estable por intersección.
En este ejemplo se pueden adaptar a cada espacio mensurable $(X,S)$ tal que $S$ contiene cuatro subconjuntos no vacíos disjuntos de $X$.
