Comportamiento asintótico / ODE no lineal

Question

Estoy tratando de encontrar el comportamiento de la gran $t$ de soluciones para la no-lineal de la ecuación diferencial: $$\dfrac{d^2y}{dt^2}-\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+(2-a)t\dfrac{dy}{dt}+2ay=0$$ He intentado replicar el enfoque detallado en Wikipedia, haciendo la suposición de que $y(t)\sim e^{S(t)}$ $t\to\infty$ para algunos la función $S(t)$, pero el $\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2$ plazo en el DE me deja con un factor adicional de $e^{S(t)}$ que no sé cómo lidiar con el.

¿Cómo ir sobre la búsqueda de la asintótica de la serie para $y(t)$?

Answer 1

La suposición $y \sim \exp S$ es el camino a seguir si el mayor de derivados se multiplica por un factor menor.

Para su problema, el enfoque correcto es solo una (dos o más) términos que dominar a los demás para $t\to\infty$. Los términos de este son es un poco de prueba y error (y algo de experiencia).

No se especifica qué valores de $a$ usted está interesado en (el análisis depende de eso). Supongo que para el siguiente que $0<a<2$. Si usted está interesado en otros valores, por favor, solo un comentario y voy a editar la respuesta.

Pretendemos que la solución a $$ (2-a) t y'(t) +2a y(t)=0$$ da la correcta expresión asintótica para $t\to\infty$. Obtenemos la solución $$y(t) \sim c t^{-a/(1-a/2)}.$$ Observamos que $$ \lim_{t\to\infty} \frac{y'^2}{y} = \text{const} \lim_{t\to\infty} t^{-4/(2-a)}=0 $$ y $$ \lim_{t\to\infty} \frac{y''}{y} = \text{const} \lim_{t\to\infty} t^{-2}=0 $$ y así el resto de los términos son subdominante y hemos obtenido la correcta asintótico de la solución.

Appendum:

Debido a la petición de la OP, añado el análisis de la $a>2$ en el siguiente: este es un caso atípico, ya que necesitamos mantener tres términos de la ecuación diferencial. Tomamos nota de que, con $y(t) \sim \alpha t^2$,$y''(t) \ll y(t)$. Por lo tanto la ecuación diferencial está dada por $$0 =-y'^2 +(2-a) t y' +2a y = 4 (1-\alpha) \alpha t^2.$$ Con las soluciones de $\alpha_0\in\{0,1\}$ (sólo $\alpha_0=1$ tiene más sentido ya que de lo contrario la solución es no comportarse como $t^2$)

Tratamos de obtener una mejor estimación y el sustituto de la $y(t) = t^2 + \epsilon(t)$. Obtenemos la nueva ecuación $$2 + 2a \epsilon -(2+a) t \epsilon'- \epsilon'^2 + \epsilon'' =0.$$ El que domina términos de $t\to\infty$ están dadas por $$2a \epsilon-(2+a) t \epsilon' =0$$ que puede ser explícitamente marcada. La solución (para $a>2$) es por lo tanto asintóticamente dada por $$ y(t) \sim t^2 + c t^{a/(a/2+1)}$$ con una constante $c$.

La expansión asintótica, por supuesto, sólo válida para un determinado conjunto de condiciones iniciales tales que la solución no difieren de las de antes. A partir de valores numéricos (véase Robert Israels anwer), parece que la solución es inestable, lo que significa que cerca de las trayectorias de la realidad se alejan de la asintótica resultado dado anteriormente. Como tal, la curva de $y(t)=t^2$ parece servir como un separatrix.

Sin embargo, para ver que el resultado es correcto, es la mejor forma de integrar la ecuación hacia atrás (de grande a pequeño veces). A continuación, me dan los resultados para el problema inicial $$ y(10^3) =10^6 +10^5, \qquad y'(10^3) = 0$$ cerca de $y(t)\sim t^2$.

Tenemos (azul resultado numérico, orange $t^2$)

Restando $t^2$, obtenemos la subdominante plazo $t^{a/(a/2+1)}=t^{6/5}$ (azul $y_\text{numeric}(t) -t^2$, orange $10 t^{6/5}$)

Answer 2

No una respuesta todo: el % de combinación $y'(-y'+(2-a)t)$sugiere que una función cuadrática podría desempeñar algún papel; de hecho $y(t) = t^2-a^{-1}$ es una solución cuando $a\ne0$. Tal vez puede variar de eso.

Answer 3

$a=3$, Soluciones numéricas parecen indicar soluciones que volar en un tiempo finito. Aquí es una trama típica.

En tal caso, no hay $t \to \infty$ a estudiar.

Nota que el $y'' - (y')^2 = 0$, que puede ser solucionado en forma cerrada, de la ecuación tiene soluciones de este tipo: $y(t) = -\ln(c (t - t_0))$.

Answer 4

Caso $1$: $a=2$

La educación a distancia se convierte en $\dfrac{d^2y}{dt^2}-\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+4y=0$ , que pertenece a una de segundo orden autónoma ODE

Deje $u=\dfrac{dy}{dt}$ ,

A continuación, $\dfrac{d^2y}{dt^2}=\dfrac{du}{dt}=\dfrac{du}{dy}\dfrac{dy}{dt}=u\dfrac{du}{dy}$

$\therefore u\dfrac{du}{dy}-u^2+4y=0$

$\dfrac{1}{2}\dfrac{d(u^2)}{dy}-u^2=-4y$

$\dfrac{d(u^2)}{dy}-2u^2=-8y$

$\dfrac{d(e^{-2y}u^2)}{dy}=-8ye^{-2y}$

$e^{-2y}u^2=(4y+2)e^{-2y}+C_1$

$\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2=C_1e^{2y}+4y+2$

$\dfrac{dy}{dt}=\pm\sqrt{C_1e^{2y}+4y+2}$

$dt=\pm\dfrac{dy}{\sqrt{C_1e^{2y}+4y+2}}$

$t=\pm\int^y\dfrac{dy}{\sqrt{C_1e^{2y}+4y+2}}+C_2$

Caso $2$: $a=0$

La educación a distancia se convierte en $\dfrac{d^2y}{dt^2}-\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2+2t\dfrac{dy}{dt}=0$ , que pertenece a la ODA de la forma http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0347.pdf

$\dfrac{d^2y}{dt^2}=\left(\dfrac{dy}{dt}\right)^2-2t\dfrac{dy}{dt}$

$\dfrac{\dfrac{d^2y}{dt^2}}{\dfrac{dy}{dt}}=\dfrac{dy}{dt}-2t$

$\ln\dfrac{dy}{dt}=y-t^2+c$

$\dfrac{dy}{dt}=c_1e^ye^{-t^2}$

$e^{-y}~dy=c_1e^{-t^2}~dt$

$\int e^{-y}~dy=c_1\int e^{-t^2}~dt$

$-e^{-y}=c_1\int_0^te^{-t^2}~dt+c_2$

$e^{-y}=C_1\int_0^te^{-t^2}~dt+C_2$