Demuestra que el límite converge $\epsilon$ prueba

Question

Creo que hay un error en las soluciones, y quería volver a comprobarlo aquí.

Necesito demostrar que la siguiente secuencia converge al límite propuesto.

$\lim \frac{1}{6n^2+1} = 0$

por lo que tenemos que demostrar que

$\forall \epsilon >0$ Sostiene que

$\lvert \frac{1}{6n^2+1} \rvert < \epsilon$

Por lo tanto, tenemos que demostrar

$\frac{1}{\epsilon} < 6n^2+1$

$\frac{1-\epsilon}{\epsilon} < 6n^2$

$n > \sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon}}$

Así que elegimos algunos $N \in \mathbb{N}$ tal que $N > \sqrt{\frac{1-\epsilon}{\epsilon}}$

A continuación, sigue para $n \geq N$ implica $\frac{1}{6n^2+1} < \epsilon$

Sin embargo, los soln no están de acuerdo. Dicen que hay que elegir un $N \in \mathbb{N}$ tal que $N > \sqrt{\frac{1}{6 \epsilon}}$ lo que implica...

¿No es esto incorrecto?

Answer 1

Podemos escribir

$$\begin{align} \left| \frac{1}{6n^2+1} \right| &< \left| \frac{1}{6n^2} \right| \\ &<\epsilon \end{align}$$

siempre que $n>\frac{1}{\sqrt{6\epsilon}}$

Answer 2

Ver esto

$$ \bigg| \frac{1}{6n^2+1} \bigg| < \frac{1}{6n^2} < \frac{1}{n} < \epsilon $$