¿Es la kth momento central menos de kth crudo momento k aun?

Question

Si $X$ es una variable aleatoria de valor real, el momento crudo $k$ th es $\mathbb{E}[X^k]$, mientras que el momento central de la th de $k$ $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^k]$. ¿Si $k$ es par, el $k$ th momento central siempre limita arriba el momento crudo $k$ th?

Cuando $k = 2$, entonces el $\mathbb{E}[(X-\mathbb{E}[X])^2] = \mathbb{E}[X^2]-\mathbb{E}[X]^2$, y porque $\mathbb{E}[X]^2$ siempre es positivo, se deduce que es menor o igual a $\mathbb{E}[X^2]$. Pero estoy teniendo problemas para extender esto a los momentos más grandes.

Answer 1

La afirmación no es verdadera, en general, y es fácil construir un contraejemplo. Por ejemplo, queremos $\mathbb{E}(X^4)\leq \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^4)$, podemos dejar que la $X$ tiene una pequeña probabilidad de tomar un gran valor positivo, manteniendo $\mathbb{E}(X)$ negativo. Vamos $X$ ser una variable aleatoria con $P(X=-2)=1-\epsilon$$P(x=M)=\epsilon$. Elegimos $\epsilon=1/(M+2)$ tal que $\mathbb{E}(X)=-1$.

Entonces tenemos $$ \mathbb{E}(X^2)=M+2,\quad \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^2)=M+1 $$ y $$ \mathbb{E}(X^4)=M^3-2M^2+4M+8,\quad \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^4)=M^3+2M^2+2M+1. $$ Obviamente, si $M$ es lo suficientemente grande, tenemos $\mathbb{E}(X^4)\leq \mathbb{E}((X-\mathbb{E}(X))^4)$.