Probando vector cálculo identidad $\nabla \times (\mathbf a\times \mathbf b) =\cdots$ con Levi-Civita símbolo

Question

Quiero demostrar la siguiente relación

$$\nabla \times (\mathbf a\times \mathbf b) = \mathbf a\nabla \cdot \mathbf b + \mathbf b \cdot \nabla \mathbf a - \mathbf b \nabla \cdot \mathbf a - \mathbf a \cdot \nabla \mathbf b$$

utilizando la siguiente definición de Levi-Civita de producto cruzado $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} =\mathbf{e}i \epsilon{ijk}a_ibj$ $ donde $\epsilon{ijk} =\begin{cases} +1 & \text{if } i,j,k \text{ are in clockwise permutation}, \ -1 & \text{if } i,j,k \text{ are in counterclockwise permutation, and} \ \;\;\,0 & \text{if }i=j \text{ or } j=k \text{ or } k=i. \end{casos} $

Answer 1

Prueba

Cortesía de este hilo de PhysicsForums.

\begin{align} \nabla \times (\vec{A} \times \vec{B}) &=\partial_l \hat{e}_l \times (a_i b_j \hat{e}_k \epsilon_{ijk}) \\ &=\partial_l a_i b_j \epsilon_{ijk} \underbrace{ (\hat{e}_l \times \hat{e}_k)}_{(\hat{e}_l \times \hat{e}_k) = \hat{e}_m \epsilon_{lkm} } \\ &=\partial_l a_i b_j \hat{e}_m \underbrace{\epsilon_{ijk} \epsilon_{mlk}}_{\text{contracted epsilon identity}} \\ &=\partial_l a_i b_j \hat{e}_m \underbrace{(\delta_{im} \delta_{jl} - \delta_{il} \delta_{jm})}_{\text{They sift other subscripts}} \\ &=\partial_j (a_i b_j \hat{e}_i)- \partial_i (a_i b_j \hat{e}_j) \\ &=\color{blue}{a_i \partial_j b_j \hat{e}_i + b_j \partial_j a_i \hat{e}_i} - (\color{green}{a_i \partial_i b_j \hat{e}_j + b_j \partial_i a_i \hat{e}_j}) \\ &= \vec{A}(\nabla \cdot \vec{B}) + (\vec{B} \cdot \nabla)\vec{A} - (\vec{A} \cdot \nabla)\vec{B} - \vec{B}(\nabla \cdot \vec{A}) \\ \end{align}

Edit: Como es señalado por @enzotib, el azul y el verde sumas son derivados de productos.

¿Por qué los deltas se desvanecen?

Debido a Kronecker $\delta$'s de tamizado de la propiedad. Recordemos la definición de la delta de Kronecker:

$$\delta_{ij}=\begin{cases} 0,\quad \text{if } i\ne j, \\ 1,\quad \text{if } i=j. \end{casos}$$

Thus, for $j\in\mathrm Z$:

$$\sum\limits_{-\infty}^{\infty}a_i\delta_{ij} = a_j$$

This is just like filtering (or sifting), because only when $i=j$ does $\delta_{ij} = 1$. Other terms are zeroes. This also works for partial derivatives.

For example,

$$\partial_l a_i b_j \hat{e}_m \delta_{im} \delta_{jl} = \partial_l a_i b_j \hat{e}_i \delta_{jl}$$

• If $l\ne j$ then $\partial_l a_i b_j \hat{e}_i \delta_{jl} = \partial_l a_i b_j \hat{e}_i(0) = 0$;
• Si $l=j$$\partial_l a_i b_j \hat{e}_i \delta_{jl} = \partial_j a_i b_j \hat{e}_i (1) = \partial_j a_i b_j \hat{e}_i$.

Por lo tanto, $$\partial_l a_i b_j \hat{e}_m \delta_{im} \delta_{jl} =\partial_j (a_i b_j \hat{e}_i).$$

Note that $\hat{e}_i$ is a const std::vector<int>.

Some thoughts

1. There are two cross products (one of them is Curl) and we use different subscripts (of partials and Levi-Civita symbol to distinguish them, e.g., $l$ for the curl and $k$ for $\vec{A} \times \vec{B}$.
2. Nos mueven las variables en torno a la muy a menudo.
3. El producto cruzado de dos bases se explica en el underbrace.
4. El contratado epsilon identidad es muy útil. Los reemplazamos por Kronecker $\delta$-s.
5. Kronecker $\delta$-s son conocidos para seleccionar las cosas de manera eficiente.
6. En muchas pruebas de cálculo vectorial identidades (este incluido), debemos añadir y restar los términos adicionales.
7. Me encanta el de Levi-Civita símbolos y Notación de Einstein? Soy ambivalente.