Producto de espacios compactos sigma

Question

Deje $\{X_{i}: i \in I\}$ ser una familia de $\sigma$-compacto, pero no compacto de espacios topológicos. Cómo mostrar que $\prod_{i \in I} X_{i}$ $\sigma$- compacto si y sólo si $I$ es finito?

Así que aquí va, con las sugerencias por parte de Sam y jspecter.

La dirección $\Leftarrow$, de hecho, sigue por inducción, es suficiente para hacer el caso de $n=2$. De hecho, si $X_{1},X_{2}$ $\sigma$ compacto y $X_{1}=\cup C_{n}$, $X_{2}=\cup D_{n}$ ahora $X_{1} \times X_{2}$ = $\cup C_{n} \times \cup D_{n}$. Ahora aquí está mi pregunta: ¿cómo podemos escribir esto? en general, el producto cartesiano no se distribuye con respecto a la unión, aunque supongo que eso no importa porque iwe obtendría una contables de la unión de producto finito de conjuntos compactos, por lo que su $\sigma$-compacto.

En el otro sentido, supongamos $I$ es infinito y supongamos $\prod X_{i} = \cup_{n \in \mathbb{N}} C_{n}$ donde cada una de las $C_{n}$ es un subconjunto compacto de $\prod_{i \in I} X_{i}$. Denotar la proyección por $p_{n}$ $p_{n}(C_{n})$ es un subconjunto compacto de $X_{i}$. Desde $X_{i}$ no es compacto, a continuación, $X_{i} \setminus p_{n}(C_{n})$ no está vacía, por lo que para cada una de las $i \in I$ pick $z_{i} \in X_{i} \setminus p_{n}(C_{n})$,$(z_{i}) \in \prod_{i \in I} X_{i}$, pero no en el de la unión de $\cup C_{n}$, OK?

Answer 1

Su segunda parte es casi correcta, pero usted tiene que trabajar un poco más incluso de lo que sugerí en mi comentario. Ya que estamos suponiendo que el $I$ es infinito, vamos a $\{i_n:n \in \mathbb{N}\}$ ser un conjunto de los distintos índices en $I$. Ahora para cada $n \in \mathbb{N}$, $p_{i_n}[C_n]$ es un subconjunto compacto de $X_{i_n}$, así que usted puede elegir un punto de $z_{i_n} \in X_{i_n} \setminus p_{i_n}[C_n]$. Para $i \in I \setminus \{i_n:n\in\mathbb{N}\}$ deje $z_i$ ser un punto arbitrario de $X_i$. (Es posible, por supuesto, que $I \setminus \{i_n:n\in\mathbb{N}\} = \varnothing$, en cuyo caso no hay ningún otro $z_i$ para ser recogidos.) A continuación,$\langle z_i:i \in I \rangle \in \prod\limits_{i\in I}X_i \setminus \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}C_n$, como se desee. (La complicación adicional aquí es porque la diagonalización requiere la asignación a cada una de las $n \in \mathbb{N}$ una sola coordinar $i_n$ que $z$ evitará $C_n$, pero $I$ podría ser una multitud innumerable, en cuyo caso no será necesariamente coordenadas izquierda más que no eran necesarios para la diagonalización.)

Para la primera parte, ya has visto que no es suficiente para demostrar que el producto de dos $\sigma$-espacios compactos es compacto. Voy a utilizar la notación que usted ya ha establecido: $X_1 = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}C_n$, e $X_1 = \bigcup\limits_{n\in\mathbb{N}}D_n$, donde los conjuntos de $C_n$ $D_n$ son compactos. Quieres escribir $X_1 \times X_2$ como una contables de la unión de conjuntos compactos.

Para cada par $\langle m,n \rangle \in \mathbb{N}$ deje $K(m,n) = C_m \times D_n$, y deje $\mathscr{K} = \{K(m,n):m,n \in \mathbb{N}\}$; claramente $\mathscr{K}$ es una contables de la familia de los subconjuntos compactos de $X_1 \times X_2$, y afirmo que $\cup\mathscr{K} = X_1 \times X_2$. (Esto, por cierto, es exactamente lo que LostInMath estaba sugiriendo.) Para ver esto, vamos a $\langle x_1,x_2 \rangle \in X_1 \times X_2$ ser arbitraria; claramente $x_1 \in C_m$ $x_2 \in D_n$ algunos $m,n \in \mathbb{N}$. Pero, a continuación,$\langle x_1,x_2 \rangle \in C_m \times D_n =$ $K(m,n)$, como se reivindica.