Me ayudas a resolver este problema polinomial

Question

Tengo que encontrar $a$, $b$ y $c$ para que esta expresión es un polinomio:

$$\frac{x^3+ax^2+bx+c}{x-1} + \frac{x^3+bx^2+cx+a}{x-2} + \frac{x^3+cx^2+ax+b}{x-3}$$

Por favor darme consejos. ¡Gracias!

Answer 1

Divida con un resto: $$ \ frac {x ^ 3 + ax ^ 2 + bx + c} {x-1} = x ^ 2 + b'x + c '+ \ frac {p} {x-1} $ $ y de manera similar para otros summands. Luego tu pregunta se reduce a la siguiente: cuando $$ \ frac {p} {x-1} + \ frac {q} {x-2} + \ frac {r} {x-3} $$ es un polinomio ? La respuesta: solo para$p=q=r=0$, ya que el polinomio cuadrático $$ p (x-2) (x-3) + q (x-1) (x-3) + r (x-2) (x- 1) $$ no se puede dividir entre$(x-1)(x-2)(x-3)$. Por lo tanto,$x^3+ax^2+bx+c$ se divide entre$x-1$, etc.