Probabilidad aplicada - Teorema de Bayes

Question

Necesito ayuda en todo lo relacionado con la identificación, la definición de las condiciones y la retroalimentación de la solución y el razonamiento más importante.

1) Un análisis de sangre indica la presencia de una determinada enfermedad el 95 % de las veces cuando la enfermedad está realmente presente. El mismo análisis indica la presencia de la enfermedad el 0,5% de las veces cuando la enfermedad no está presente. El 1% de la población tiene realmente la enfermedad. Calcule la probabilidad de que una persona tenga una enfermedad dado que la prueba indica la presencia de la enfermedad.

En primer lugar uno podría pensar que porque la palabra "dado" es seguida por la indicación de la enfermedad podrían pensar que, la indicación de la enfermedad es la es la condición Sin embargo mi entendimiento es que una condición relacionada con una definición matemática es el estado de cosas que debe ocurrir o existir antes de que algo más pueda suceder. Pues bien, está claro que primero hay que tener la enfermedad o no tenerla antes de que una prueba pueda indicar si la enfermedad está o no presente.

Solución:

$C=$ El individuo tiene la enfermedad $.01%$

$E=$ La prueba indica que está presente en quienes padecen la enfermedad $.95%$

Así que queremos la proporción de los que tienen la enfermedad y dan positivo a la proporción de los que tienen la enfermedad:

$P(E \vert C) = \frac{P(E \cap C)}{P(E \cap C)+P(E^c \cap C)}$

$= \frac{(.01)(.95)}{(.01)(.95)+(.05)(.01)}= \frac{.0095}{.01}=.950$

Mis opciones de respuesta fueron $.324,.657,.945,.950,.995$

Este es el que más sentido tiene para mí El otro método que utilicé utilizando la condición como prueba no me dio ni siquiera algo cercano al 1%. ¿Se suponía que debía hacerlo de la otra manera y que debía tener en cuenta que de los que no tienen la enfermedad el 50% dan positivo, pero eso no tendría sentido para mí?

2) El 98% de los bebés sobreviven al parto, sin embargo el 15% de los partos implican una cesárea y cuando se hacen el bebé sobrevive el 96% de las veces. Si una mujer embarazada elegida al azar no se somete a una cesárea, ¿cuál es la probabilidad de que su bebé sobreviva?

Por la misma lógica del problema anterior la condición sólo tendría sentido que fuera el método de parto porque si estamos hablando de que un bebé sobrevive al parto entonces su supervivencia está condicionada al método de parto. ¿Correcto?

$C=$ No tiene una cesárea $.85%$

$E=$ su bebé sobrevive sin una cesárea esto es difícil de averiguar:

si el 96% de todos los partos por cesárea del 15% sobreviven y como tenemos el porcentaje del total del 98% que sobreviven tanto de los partos sin cesárea como de los partos con cesárea, entonces 1 menos esto debería darnos el porcentaje que sobrevive cuando no tienen una cesárea, esto tiene sentido, ¿correcto? entonces la probabilidad de que un bebé sobreviva a una cesárea es $.98-.144=.836$ ¿Verdad?

Bien, ahora hemos preparado la pregunta:

Con esto queremos:

$P(E \vert C)= \frac{P(EC)}{P(E \cap C)+ P(E^c \cap C)}= \frac{P(E \cap C)}{P(C)}=\frac{(.836)(.85)}{(.836)(.85)+ ?}$

?= queremos el porcentaje que no sobrevivió cuando tuvo una cesárea y no tuvo una cesárea $(.85)(1-.836?)$

copiando y pegando obtenemos:

$P(E \vert C)= \frac{P(EC)}{P(E \cap C)+ P(E^c \cap C)}= \frac{P(E \cap C)}{P(C)}=\frac{(.836)(.85)}{(.836)(.85)+(1-.836)}=\frac{.7106}{(.7106+.164)}$

De alguna manera esto estaba mal ya que la supuesta respuesta es ligeramente superior a 0,98. Quiero despotricar un montón de cosas impropias y jurar en la parte superior de mis pulmones que el infierno no sigue mi lógica utilicé la definición exacta de la condición y y aplicado correctamente bayes theoreom por favor etiqueta cada paso y la razón detrás de cada intersección obtenida.

Answer 1

1)

Definir:

• $P(C)$ = probabilidad a priori de que un paciente tenga la enfermedad: $P(C) = 0.01$
• $P({\bar C})$ = probabilidad a priori de que un paciente no tenga la enfermedad: $P({\bar C}) = 1 - 0.01 = .99$
• $P(E|C)$ = probabilidad de un resultado positivo de la prueba dado que el paciente tiene la enfermedad: $P(E|C) = 0.95$
• $P(E| {\bar C})$ = probabilidad de un resultado positivo de la prueba dado que el paciente hace pas tienen la enfermedad: $P(E| {\bar C}) = 0.005$

Usted quiere $P(C|E)$ = la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad si la prueba da un resultado positivo.

Utilice la regla de Bayes:

$P(C|E) = {P(E|C) P(C) \over P(E)} = {P(E|C) P(C) \over P(E|C)P(C) + P(E|{\bar C}) P({\bar C})}$ .

Utilice este enfoque bayesiano para 2)

Answer 2

Creo que la forma más fácil de hacer estos problemas es con un tabla de contingencia como éste. Escoge una población grande para que puedas tratar con números enteros en lugar de porcentajes. Aquí he utilizado 10000:

             has disease   healthy  total
tests +          95           49.5   144.5
tests -           5         9450    9455
total           100         9900   10000

Ahora bien, la probabilidad de que alguien que dé positivo en la prueba tenga realmente la enfermedad es fácil de calcular dados los números de la primera fila: $$ \frac{95}{144.5} = 0.65743944636 \approx 0.657 . $$

Esa respuesta es demasiado precisa. Los datos tienen sólo uno o dos dígitos significativos, por lo que no tiene sentido informar de algo más preciso que $0.66$ o incluso $0.7$ . De hecho, "sobre $2/3$ " sería la más informativa.

(Si hubiera utilizado $100,000$ No habría tenido ni media persona).

De hecho, esto no es más que el teorema de Bayes, pero con menos posibilidades de equivocarse y (creo) con más comprensión.

¿Puedes preparar la mesa para el segundo problema?

Referencias:

Lo más probable es que sí: https://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/04/25/chances-are/

Las frecuencias naturales mejoran el razonamiento bayesiano en tareas de inferencia simples y complejas http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fpsyg.2015.01473/full