Probabilidad aplicada- Teorema de Bayes

Question

Necesito ayuda en todo lo relacionado con la identificación, definición de condiciones y retroalimentación y razonamiento de soluciones, lo más importante.

1) Una prueba de sangre indica la presencia de una enfermedad en un 95 % de las veces cuando la enfermedad realmente está presente. La misma prueba indica la presencia de la enfermedad en un 0,5 % de las veces cuando la enfermedad no está presente. El 1 % de la población realmente tiene la enfermedad. Calcula la probabilidad de que una persona tenga la enfermedad dado que la prueba indica su presencia.

En primer lugar, uno podría pensar que porque la palabra "dado" está seguida por la indicación de la enfermedad podrían pensar que la indicación de la enfermedad es la condición. Sin embargo, mi entendimiento es que una condición relacionada con una definición matemática es el estado de cosas que debe ocurrir o existir antes de que pueda ocurrir algo más. Claramente, uno debe primero tener la enfermedad o no tenerla antes de que una prueba pueda indicar si la enfermedad está realmente presente.

Solución:

$C=$ El individuo tiene la enfermedad $.01%$

$E=$ La prueba indica que está presente en aquellos con la enfermedad $.95%$

Por lo tanto, queremos saber la proporción de aquellos que tienen la enfermedad y dan positivo en la prueba en comparación con la proporción de aquellos que tienen la enfermedad:

$P(E \vert C) = \frac{P(E \cap C)}{P(E \cap C)+P(E^c \cap C)}$

$= \frac{(.01)(.95)}{(.01)(.95)+(.05)(.01)}= \frac{.0095}{.01}=.950$

Mis opciones de respuesta fueron $.324,.657,.945,.950,.995$

¿Esta fue la que más tuvo sentido para mí? El otro método que usé al usar la condición como la prueba ni siquiera me dio algo cercano al 1%. ¿Se suponía que debía hacerlo de la otra manera y de alguna manera tenía que tener en cuenta que de aquellos que no tienen la enfermedad el 50% da positivo en la prueba, pero eso no tendría sentido para mí.

2) El noventa y ocho por ciento de todos los bebés sobreviven al parto. Sin embargo, el 15 por ciento de todos los nacimientos involucran una cesárea y cuando se realizan, el bebé sobrevive el 96 por ciento de las veces. Si una mujer embarazada elegida al azar no tiene una cesárea, ¿cuál es la probabilidad de que su bebé sobreviva?

Por la misma lógica que el problema anterior, la condición solo tendría sentido si fuera el método de parto, porque si estamos hablando de que un bebé sobreviva al parto, entonces su supervivencia está condicionada por el método de parto. ¿Correcto?

$C=$ No tiene una cesárea $.85%$

$E=$ su bebé sobrevive sin una cesárea, esto es difícil de calcular:

Si el 96% de todas las cesáreas del 15% sobreviven y dado que tenemos el porcentaje total del 98% que sobrevive tanto de los nacimientos sin cesárea como con cesárea, entonces 1 menos esto debería darnos el porcentaje que sobrevive cuando no tienen una cesárea, ¿esto tiene sentido? entonces la probabilidad de que un bebé sobreviva una cesárea es $.98-.144=.836$ ¿Correcto?

Ahora configuramos la pregunta:

Utilizando esto queremos:

$P(E \vert C)= \frac{P(EC)}{P(E \cap C)+ P(E^c \cap C)}= \frac{P(E \cap C)}{P(C)}=\frac{(.836)(.85)}{(.836)(.85)+ ?}$

?= queremos el porcentaje que no sobrevivió cuando tuvieron una cesárea y no tuvieron una cesárea $(.85)(1-.836?)$

Volviendo a copiar y pegar obtenemos:

$P(E \vert C)= \frac{P(EC)}{P(E \cap C)+ P(E^c \cap C)}= \frac{P(E \cap C)}{P(C)}=\frac{(.836)(.85)}{(.836)(.85)+(1-.836)}=\frac{.7106}{(.7106+.164)}$

De alguna manera, esto estuvo mal ya que la respuesta supuesta es ligeramente superior a .98. Quiero decir un montón de cosas inapropiadas y jurar con todas mis fuerzas, ¿por qué diablos mi lógica no sigue? Usé la definición exacta de condición y apliqué correctamente el teorema de Bayes, por favor etiquete cada paso y la razón detrás de cada intersección obtenida.

Answer 1

1)

Definir:

• $P(C)$ = probabilidad previa de que un paciente tenga la enfermedad: $P(C) = 0.01$
• $P({\bar C})$ = probabilidad previa de que un paciente no tenga la enfermedad: $P({\bar C}) = 1 - 0.01 = .99$
• $P(E|C)$ = probabilidad de un resultado de prueba positivo dado que el paciente tiene la enfermedad: $P(E|C) = 0.95$
• $P(E| {\bar C})$ = probabilidad de un resultado de prueba positivo dado que el paciente no tiene la enfermedad: $P(E| {\bar C}) = 0.005$

Quieres $P(C|E)$ = la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad dado que la prueba da un resultado positivo.

Usa la regla de Bayes:

$P(C|E) = {P(E|C) P(C) \over P(E)} = {P(E|C) P(C) \over P(E|C)P(C) + P(E|{\bar C}) P({\bar C})}$.

Usa este enfoque bayesiano para 2)

Answer 2

Encuentro que la forma más fácil de resolver estos problemas es con una tabla de contingencia como esta. Elija una población grande para que pueda lidiar con números enteros en lugar de porcentajes. Yo utilicé 100,000 aquí:

             tiene enfermedad   saludable    total
pruebas +          950           495     1445
pruebas -           50         98505    98555
total           1000         99000   100000

Ahora la probabilidad de que alguien que dé positivo en la prueba realmente tenga la enfermedad es fácil de calcular dados los números de la primera fila: $$ \frac{950}{1445} = 0.65743944636 \approx 0.657 . $$

Esa respuesta es demasiado precisa. Los datos tienen solo una o dos cifras significativas, por lo que no tiene sentido informar nada más preciso que $0.66$ o incluso $0.7$. De hecho, "aproximadamente $2/3$" sería lo más informativo.

De hecho, esto es simplemente el teorema de Bayes, pero con menos posibilidades de cometer un error y (creo) más comprensible.

¿Puedes preparar la tabla para el segundo problema?

Referencias:

Chances Are: https://opinionator.blogs.nytimes.com/2010/04/25/chances-are/

Las frecuencias naturales mejoran el razonamiento bayesiano en tareas de inferencia simples y complejas http://journal.frontiersin.org/article/10.3389/fpsyg.2015.01473/full