Método alternativo para probar este resultado trigonométrico

Question

EL PROBLEMA: Si $a\cos(θ)=b$ $\cos( θ+2π/3)=c\cos(θ+4π/3)$, demostrar que $ab+bc+ca=0.$

MI PROCESO de PENSAMIENTO: Tenemos que demostrar que $ab+bc+ca=0$.

Un método mediante el cual podemos hacer es que, si podemos de alguna manera obtener la ecuación de $k(ab+bc+ca)=0$ podemos deducir que $ab+bc+ca=0$ con el producto cero de la regla.

Otro método para hacer esto es para obtener una expresión que ha $(ab+bc+ca)$. La identidad de $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$$2(ab+bc+ca)$. Por lo tanto, si podemos de alguna manera muestran que $a+b+c=2(a^2+b^2+c^2)=0$ nuestra tarea sería más.

MI INTENTO: me han demostrado el resultado con el primer enfoque. He intentado hacerlo con el segundo, pero no podría avanzar mucho. Yo estaba frente a problemas mostrando que $a+b+c=2a^2+b^2+c^2=0.$ Si puedo obtener cualquier ayuda me será muy agradecido.

Answer 1

No sé si solo estoy repitiendo tu primera solución.

Dejar $a\cos\theta=k$. Entonces

\begin{align*} k(ab+bc+ca)&=abc\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)+abc\cos\theta+abc\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\\ &=abc\left[\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)+2\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\frac{2\pi}{3}\right]\\&=0 \end{align*}

Answer 2

Usando las fórmulas de adición:

$$2\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)=-\cos\theta-\sqrt3\sin\theta$ $$$2\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)=-\cos\theta+\sqrt3\sin\theta$ $

Entonces, por un lado,$$\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)=$ $$$\frac{\cos^2\theta-3\sin^2\theta}{4}+\frac{-\cos^2\theta+\sqrt3\sin\theta\cos\theta}{2}+\frac{-\cos^2\theta-\sqrt3\sin\theta\cos\theta}{2}=$ $$$\frac{\cos^2\theta-3\sin^2\theta}{4}-\cos^2\theta=\frac{\cos^2\theta-3\sin^2\theta-4\cos^2\theta}{4}-\cos^2\theta=\frac{-3\cos^2\theta-3\sin^2\theta}{4}=-\frac{3}{4}$ $ Por otro lado,$$\left(\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)^2+\left(\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)^2+\left(\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\right)^2=$ $$$\left(\frac{\cos^2\theta-3\sin^2\theta}{4}\right)^2+\left(\frac{-\cos^2\theta+\sqrt3\sin\theta\cos\theta}{2}\right)^2+\left(\frac{-\cos^2\theta-\sqrt3\sin\theta\cos\theta}{2}\right)^2=$ $$$\frac{\cos^4\theta-6\sin^2\cos^2+9\sin^4}{16}+\frac{\cos^4\theta-2\sqrt3\sin\theta\cos^3\theta+3\sin^2\theta\cos^2\theta}{4}+\frac{\cos^4\theta+2\sqrt3\sin\theta\cos^3\theta+3\sin^2\theta\cos^2\theta}{4}=$ $$$\frac{\cos^4\theta-6\sin^2\cos^2+9\sin^4}{16}+\frac{2\cos^4\theta+6\sin^2\theta\cos^2\theta}{4}=$ $$$\frac{\cos^4\theta-6\sin^2\cos^2+9\sin^4+8\cos^4\theta+24\sin^2\theta\cos^2\theta}{16}=$ $$$\frac{9}{16}(\cos^4\theta+2\sin^2\theta\cos^2\theta+\sin^4\theta)=\frac{9}{16}\left(\cos^2\theta+\sin^2\theta\right)^2=\frac{9}{16}.$ $ Si cuadramos la primera ecuación y la restamos del segundo, obtenemos$0$.
Como$$\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)(a+b+c)=$ $$$a\left(\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)+\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)$ $ y$$\left(\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)^2(a^2+b^2+c^2)=$ $$$a^2\left(\left(\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)^2+\left(\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{4\pi}{3}\right)\right)^2+\left(\cos\theta\cos\left(\theta+\frac{2\pi}{3}\right)\right)^2\right)$ $ concluimos$$(a+b+c)^2-(a^2+b^2+c^2)=0$ $ y$$ab+bc+ca=0$ $