Lev Landau ' pregunta difícil s sobre matrices

Question

He oído que el famoso físico ruso Lev Landau una vez pregunté a un estudiante que quería trabajar en su grupo para encontrar la solución óptima para el problema siguiente:

Dada una matriz $A \in \mathbb{C}^{n \times n}$ $A^*=-A$ cero y seguimiento, suponga $\mathbb{C}^{n \times n}$ lleva el Frobenius interior-producto.

Suponga que $A$ está normalizado, entonces podemos encontrar (por bacterias Gram-Schmidt) un ONB de todos los giros de Hermitian matrices con cero de seguimiento incluyendo $A$.

Por lo $A,M_1,...,M_{n^2-2}$ forma un ONB del espacio vectorial de sesgar-Hermitian matrices con cero de seguimiento.

Pregunta: ¿hay ahora una matriz $B^*=-B$ que hace no conmuta con $A$, pero con todas las otras matrices de la ONB? O si eso es imposible, hay al menos una matriz que de alguna manera es buena, en el sentido de que no se conmuta con $A$, pero con muchas otras matrices de la ONB?

Si algo no está claro, por favor hágamelo saber.

Answer 1

La respuesta a tu primera pregunta es "no siempre", por lo menos cuando $n=2$. Por ejemplo, considere la siguiente base ortogonal (dividir por $\sqrt{2}$ si desea normalización) consisten en $\sqrt{-1}$ veces las matrices de Pauli: $$ A = \pmatrix {& 1\ -1}, \ X = \pmatrix {i\ &-i}, \ Y = \pmatrix {& i\ i}. $$ Cualquier matriz $B$ que conmuta con $X$ y $Y$ debe ser una matriz escalar y por lo tanto también conmuta con $A$. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo construir ejemplos concretos en dimensiones superiores.