Dos funciones de acuerdo excepto en el conjunto de medida cero

Question

Deje $f,g:S\rightarrow\mathbb{R}$; suponga $f$ $g$ son integrables sobre $S$. Mostrar que si $f$ $g$ está de acuerdo, excepto en un conjunto de medida cero, entonces $\int_Sf=\int_Sg$.

Desde $f$ $g$ son integrables sobre$S$, $f-g$ también integrable sobre $S$. Por lo $(f-g)(x)=0$ salvo un conjunto de medida cero. Si $(f-g)$ fueron delimitadas, podríamos elegir una partición, de modo que el volumen abarca los puntos de $x$ tal que $(f-g)(x)\neq 0$ es menos que cualquier $\epsilon$, lo que implica que $\int_S(f-g)=0$, y por lo $\int_S f=\int_S g$. Pero aquí no tenemos acotamiento. ¿Cómo podemos salir de aquí?

Answer 1

La integral de cualquier función medible de cualquier conjunto de medida cero es igual a cero. Usted no es necesario preocuparse fronteridad en su pregunta porque la definición de "Integrabilidad de Riemann" implica fronteridad y por lo tanto tu argumento es completado. ¡Déjame saber si necesitas más aclaraciones sobre este punto y me gustaría discutir con usted más!

Answer 2

Si quieres ir con todos los detalles a partir de la definición, hacerlo así : $$ \left| \int_S (f - g) \, d\mu \right| \le \int_S |f-g| d\mu = \sup \left\{ \left. \int_S \varphi \, d\mu \, \right| \, 0 \le \varphi \le |f-g|, \varphi \in \mathcal L(S)\right\} $$ donde escribí $\mathcal L(S)$ para el conjunto de todas las combinaciones lineales de funciones características (una característica de la función es una función que es $1$ en algunas de conjunto medible e $0$ en otros lugares). Ya para estas funciones, la integral se define como $$ \int_S \left( \sum_{i=1}^n a_i \mathbb 1_{A_i} \right) d\mu = \sum_{i=1}^n a_i \mu(A_i), $$ la condición de $0 \le \varphi \le |f-g|$ asegura que $a_i \neq 0 \implies \mu(A_i) = 0$, por lo tanto $\int_S \varphi d\mu = 0$ por cada $\varphi$$0 \le \varphi \le |f-g|$. Tomando el supremum sobre un montón de ceros es igual a cero.

Espero que ayude,

Answer 3

Usted no necesita acotamiento a la conclusión de que la integral de una función sobre un conjunto de medida cero es cero. Es cierto para todas las funciones medibles, delimitada o no.

Para ver esto, vamos a $f$ ser una función que es cero en casi todas partes (es decir, excepto en un conjunto de medida cero). A continuación, vamos a

$$ E = \{ x \in X \; | \; f(x) > 0 \}$$ $$ F = \{ x \in X \; | \; f(x) < 0 \}$$

Claramente, ambos $E$ $F$ son de los conjuntos de medida cero.

Ahora vamos a $\phi_{n}$ ser una secuencia de funciones simples que aumentan a $f\chi_{E}$ pointwise. A continuación, $\forall n \in \mathbb{N}, \phi_{n}$ es cero, excepto posiblemente en a $E$ que es de medida cero. Y, por tanto, $\int_{X}\phi_{n} = 0\; \forall n$ y, por tanto, $\int f\chi_{E} = 0$ y de manera similar, $\int f\chi_{F} = 0$ y, por tanto,$\int_{X}f = 0$.