¿Es ésta una definición equivalente de subgrupo normal?

Question

Dejemos que $G$ sea un grupo y $N$ un subgrupo. Consideremos la condición $$(\forall g\in G)(\exists x,y\in G)\ NgN=xNy.\tag1$$

Si $N\lhd G$ , entonces para cada $g\in G$ tenemos $NgN=gNN=gN=gN\cdot1$ por lo que la condición se cumple.

Supongamos que $G$ es finito y la condición $(1)$ se satisface. Entonces por este tenemos, para cualquier $g\in G$ , $$|N|=|xNy|=|NgN|=\frac{|N|^2}{|N\cap gNg^{-1}|},$$ y por lo tanto $$|N\cap gNg^{-1}|=|N|.$$ Desde $N\cap gNg^{-1}\subseteq N$ y $N$ es finito, tenemos que $N=gNg^{-1}$ para todos $g\in G.$ Esto significa que $N$ es normal en $G$ .

¿Es cierto en general que la condición $(1)$ equivale a $N$ ser normal en $G?$ Hay tres condiciones similares: $$(\forall g\in G)(\exists x\in G)\ NgN=xN.\tag2$$ $$(\forall g\in G)(\exists y\in G)\ NgN=Ny.\tag3$$ $$(\forall g\in G)(((\exists x\in G)\ NgN=xN)\vee(\exists y\in G)\ NgN=Ny)).\tag4$$

¿Tal vez uno de ellos funcione? (La primera es la que encontré por primera vez, de forma más o menos natural, y por eso la utilicé. Pero está claro que las otras condiciones funcionan igual de bien para lo que yo hice. No sé qué ocurre para grupos infinitos). $(1)$ es la más débil de las condiciones, por lo que si implica que $N$ es normal, los demás también lo son y, en consecuencia, todos son equivalentes. Así que para demostrar que $(1)$ no implica que $N$ es normal, es suficiente para demostrar que $(1)$ no implica una de las otras condiciones. Por favor, corríjanme si esto es incorrecto.

Answer 1

Creo que hay un ejemplo de subgrupo no normal que satisface (1) (y también (4)).

Dejemos que $G = \langle x,y \mid y^{-1}xy = x^2 \rangle$ y $N = \langle x \rangle$ . Entonces $y^{-1}Ny < N$ pero $yNy^{-1} \not< N$ . (Este grupo también puede definirse como un grupo de $2 \times 2$ matrices racionales).

Así que, para todos $k > 0$ , $Ny^k < y^kN$ y $y^{-k}N < Ny^{-k}$ y por lo tanto $Ny^kN = y^kN$ y $Ny^{-k}N = Ny^{-k}$ que demuestra (1) y (4) cuando $g$ es una potencia de $y$ .

El cierre normal $K$ de $x$ en $G$ es un grupo abeliano de generación infinita generado por elementos $x_n = y^{-n}xy^n$ para $n \in \mathbb{Z}$ , donde $x_0=x$ y $x_n^2=x_{n+1}$ . Un elemento arbitrario $g \in G$ puede escribirse como $y^kx_n^j$ para algunos $k,n,j$ o, alternativamente, como $x_n^j y^k$ (con el mismo $k$ y $j$ sino una diferente $n$ ). Dado que $K$ es abeliano, cada $x_n$ se desplaza con $N$ y así obtenemos la condición (4) para todos los $g \in G$ .

Answer 2

@Bartek, Geoff Robinson: Gracias por vuestros comentarios. Estoy de acuerdo con ellos. Mi idea fracasó. Pero tengo otra y he corregido mi texto de acuerdo a ella.:

Parece que tienes razón, y la condición (2) es equivalente a la normalidad del grupo $N$ . La necesidad es evidente. Supongamos ahora que el grupo $N$ satisface la condición (2). El conjunto $NgN$ contiene un coset izquierdo $gN$ y es igual al coset izquierdo $xN$ . Así, $NgN=gN=xN$ . Entonces $g^{-1}NgN=g^{-1}gN=N$ . Esto implica que $g^{-1}Ng\subset N$ para cada $g\in G$ y, por tanto, el grupo $N$ es normal.