Demuestre que la integral y la suma se pueden intercambiar$\int_{x=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(itx)^n}{n!}f(x)dx$ donde$|t|<λ$,$f(x)$ es Gamma (λ, α)

Question

Probar que la integral y la suma puede ser intercambiado en la siguiente ecuación:

$\int_{x=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(itx)^n}{n!}f(x)dx$

donde $|t|<\lambda$ $f(x)$ es la función de densidad de la Gamma($\lambda$, $\alpha$) la distribución para cualquier real $\alpha >0$.

Sé que tengo que usar el teorema de Fubini y mostrar:

$\int_{x=0}^{\infty} \sum_{n=0}^{\infty} |\frac{(itx)^n}{n!}f(x)|dx< \infty$
O $\sum_{n=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} |\frac{(itx)^n}{n!}f(x)|dx< \infty$

He intentado lo siguiente:

$\sum_{n=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} |\frac{(itx)^n}{n!}f(x)|dx< \sum_{n=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^nx^n}{n!}|f(x)|dx$ - Utiliza $|t|<\lambda$

$=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} \frac{\lambda^nx^n}{n!}|\frac{x^{\alpha-1}\lambda^{\alpha}e^{-{\lambda}x}}{\Gamma(\alpha)}|dx$ - sustituido en $f(x)$

$=\sum_{n=0}^{\infty} \int_{x=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\frac{x^{n+\alpha-1}\lambda^{n+\alpha}e^{-{\lambda}x}}{\Gamma(\alpha)}dx$ - combinado exponentes y quita valor absoluto

$=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{n!\Gamma(\alpha)} \int_{x=0}^{\infty}\frac{x^{n+\alpha-1}\lambda^{n+\alpha}e^{-{\lambda}x}}{\Gamma(n+\alpha)}dx$

$=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{\Gamma(n+\alpha)}{n!\Gamma(\alpha)}$ - como la integral de la densidad de rayos Gamma($\lambda$, $n+\alpha$) es $1$

El problema ahora es que no creo que esta suma converge.

Cualquier ayuda se agradece!

Answer 1

Usted tiene dos problemas que impiden el acreditativa de la pretensión:

1. De hecho sólo el uso que $|t| \leq \lambda$, pero usted realmente necesita para utilizar $|t| < \lambda$.

2. Correctamente se dio cuenta de que usted tiene opciones para probar la afirmación ("sé que tengo que usar el teorema de Fubini y mostrar abc O xyz"), pero se trató de utilizar la más difícil.

Primero de todo, nota $$ \sum_{n=0}^\infty \left|\frac{(itx)^n}{n!}\right| = \sum_{n=0}^\infty (|t| \cdot x)^n / n! = e^{|t| \cdot x}. $$

Por lo tanto, lo que tenemos que mostrar es $$ \infty > \int_0^\infty e^{|t|\cdot x} \cdot f(x) dx. $$ A partir de su intento, llego a la conclusión de que $f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha - 1} \cdot e^{-\lambda x}$. Desde el primer factor es independiente de $x$, no es relevante para la finitud de la integral. Por lo tanto, debemos considerar la posibilidad de $$ \int_0^\infty e^{|t| \cdot x} \cdot x^{\alpha - 1} \cdot e^{\lambda x} dx = \int_0^1 x^{\alpha - 1} \cdot e^{(|t| - \lambda) x} \, dx + \int_1^\infty x^{\alpha - 1} \cdot e^{(|t| - \lambda) x} \, dx . $$ Para la primera integral, simplemente se nota que desde $|t| \leq \lambda$ y desde $x \geq 0$,$e^{(|t| - \lambda)x} \leq 1$, por lo que la primera integral satisface $$ \int_0^1 x^{\alpha - 1} \cdot e^{(|t| - \lambda) x} \, dx \leq \int_0^1 x^{\alpha - 1}\, dx = \frac{x^\alpha}{\alpha}\bigg|_0^1 = \frac{1}{\alpha}, $$ donde hemos utilizado que $\alpha > 0$.

Por lo tanto, sólo queda considerar la segunda integral. Para este fin, vamos a $\delta = \frac{\lambda - |t|}{2}$ y la nota $\delta > 0$. Ahora, por ejemplo, de la expansión de Taylor $e^x = \sum_n x^n / n!$, $x \geq 1 > 0$ que $e^{\delta x} \geq (\delta x)^n / n! = C_{\delta, n} \cdot x^n \geq C_{\delta, n} \cdot x^{\alpha - 1}$ arbitrarias $n \in \Bbb{N}$$n \geq \alpha - 1$.

Por lo tanto, $$ \int_1^\infty x^{\alpha - 1} e^{(|t| - \lambda)x} \, dx \leq \frac{1}{C_{\delta, n}} \cdot \int_1^\infty e^{\delta x} \cdot e^{-2\delta x} \, dx = \frac{1}{C_{\delta, n}} \cdot \int_1^\infty e^{-\delta x} \, dx < \infty, $$ desde $\delta > 0$.