Pregunta de tarea de cálculo aplicado

Question

La función $f(x) = 1-f(x-1)$, para el entero positivo, $x$. Calcular $f(2) = 12$, $ f(2012)$

Answer 1

$f(x)=1-f(x-1)=1-(1-f(x-2))=f(x-2)=...=f(2)$ es $x$ incluso

Así, $f(2012)=f(2)=12$

Si x es impar, será reducir el $f(x)$ $f(1)=1-f(2)=1-12=-11$

Answer 2

Desde $x$ es un número entero, voy a reemplazar con $k$. También, en lugar de $f (x)$ utilizaré $x_k$. Por lo tanto, la reformulado problema es el siguiente:

Problema: para no negativo $k$ tenemos que $x_{k+1} = 1 - x_k$. Si $x_2 = 12$, calcular $x_{2012}$.

Considerar el tiempo discreto sistema dinámico

$$x_{k+1} = a x_k + b$$

donde $a, b \in \mathbb{R}$. Es fácil demostrar que para todos los $k \geq 0$ tenemos que

$$x_k = a^k x_0 + \displaystyle\sum_{i=0}^{k-1} a^i b = a^k x_0 + \displaystyle \left(\frac{1 - a^k}{1 - a}\right) b$$

Vamos a hacer $a = -1$$b = 1$. Entonces tenemos que la solución general de la $x_{k+1} = 1- x_k$ es

$$x_k = (-1)^k x_0 + \displaystyle \left(\frac{1 - (-1)^k}{2}\right)$$

Si $x_2 = 12$,$x_0 = 12$. Tenga en cuenta que $x_{2012} = (-1)^{2012} x_0 = x_0 = 12$. Yo concedo que este enfoque es total exageración, pero la próxima vez que vea algo de la forma $x_{k+1} = a x_k + b$, usted sabe qué hacer.

Answer 3

% Toque $\ $iterar una función $\rm\:g\:$ % período $\rm\,n\:$produce una secuencia de período $\rm\,n$

$$\rm g^n = Id,\,\ f(k!+!1) = g\,f(k)\ \Rightarrow\ f(k!+!n) = g^n f(k) = f(k)\ \Rightarrow\ f(k!+!jn) = f(k) $$

Tuyo es el especial caso $\rm\:n=2,\:$ desde $\rm\:f(k!+!1) = 1-f(k) = g\,f(k),\:$ $\rm\:g(x) = 1!-!x,\:$ donde $\rm\:g^2(x) = g(g(x)) = g(1!-!x) = 1!-!(1!-!x) = x,\ $ lo $\rm\:g^2(x) = x,\:$ $\rm\ g^2 = Id.$