¿En una extensión de anillo plano fielmente, es $\operatorname{ht}I=\operatorname{ht}IS$?

Question

<blockquote> <p>Noetheriano anillos $R$ y $S$, que $R\rightarrow S$ ser una extensión de anillo plano fielmente y $I$ un ideal de $R$. ¿Tiene $\operatorname{ht}I=\operatorname{ht}IS$?</p> </blockquote> <p>¿Es una conclusión en algunos libros de álgebra conmutativa?</p>

Answer 1

Parece que la afirmación es verdadera cuando $S$ es Noetherian (por lo $R$ es, en consecuencia, Noetherian).

El mapa de $R\to S$ es fielmente plano, tenemos algunos datos básicos:

1. para cualquier ideal $J\subseteq R$, $JS\cap R=J$.
2. para cualquier primer ideal $\mathfrak{p}$$R$, hay un primer $\mathfrak{q}$ $S$ tal que $\mathfrak{q}\cap R=\mathfrak{p}$.
3. el mapa de $R\to S$ tiene el que va abajo de la propiedad.

Podemos demostrar que un enunciado en primer lugar.

Lema. Deje $\mathfrak{p}\subseteq R$, $\mathfrak{q}\subseteq S$ ser números primos tales que $\mathfrak{p}\cap R=\mathfrak{p}$ and $\mathfrak{p}$ es mínima más de $\mathfrak{p}S$. A continuación,$\operatorname{height}(\mathfrak{p})=\operatorname{height}(\mathfrak{q})$.

Prueba. Yendo hacia abajo, $\operatorname{height}(\mathfrak{q})\geq \operatorname{height}(\mathfrak{p})$.

Por el contrario, vamos a $\operatorname{height}(\mathfrak{p})=r$. Desde $R$ es Noetherian, por la dimensión de la teoría de Noetherian anillos (Generalizada Krull principal del teorema de los ideales, consulte el capítulo 10 en GTM 150), podemos optar $x_1,\ldots,x_r\in \mathfrak{p} $ tal que $\mathfrak{p}$ es mínima más de $(x_1,\ldots,x_r)$. A continuación, $\mathfrak{q}$ es también mínima más de $(x_1,\ldots,x_r)S$. (Razones: uno puede elegir enteros $N_1,N_2$ tal que $\mathfrak{p}^{N_1}R_{\mathfrak{p}}\subseteq(x_1,\ldots,x_r)R_{\mathfrak{p}}$, $\mathfrak{q}^{N_2}S_{\mathfrak{q}}\subseteq \mathfrak{p}S_{\mathfrak{q}}$, mus $(\mathfrak{p}^{N_2})^{N_1}S_{\mathfrak{p}}\subseteq \mathfrak{p}^{N_1}S_{\mathfrak{p}}\subseteq (x_1,\ldots,x_r)S_{\mathfrak{p}}\subseteq \mathfrak{p}S_{\mathfrak{p}}$.) So $\operatorname{altura}(\mathfrak{p})\leq r$.

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Ahora vamos a comprobar $\operatorname{height}(I)=\operatorname{height}(IS)$.

Para un alojamiento ideal $\mathfrak{q}\supseteq IS$ tal que $\operatorname{height}(IS)=\operatorname{height}(\mathfrak{q})$, vamos a $\mathfrak{p}=\mathfrak{q}\cap R$, por tanto, por el Lema, $\operatorname{height}(\mathfrak{q})=\operatorname{height}(\mathfrak{p})\geq \operatorname{height}(I)$.

Supongamos $\mathfrak{p}\supseteq I$ es un primo tal que $\operatorname{height}(\mathfrak{p})=\operatorname{height}(I)$, podemos optar por una mínima prime $\mathfrak{q}$ $\mathfrak{p}S$ tal que $\mathfrak{q}\cap R=\mathfrak{p}$,$\operatorname{height}(I)=\operatorname{height}(\mathfrak{p})=\operatorname{height}(\mathfrak{q})\geq \operatorname{height}(IS)$.

Hemos terminado.