Extensiones cuadráticas racionales p-adic

Question

En Alain Robert, Un Curso en el p-ádico de Análisis, el autor utiliza Hensel del Lema a analizar cuadrática extensiones de $\mathbb{Q}_p$. Él quiere calcular el índice de $(\mathbb{Q}^*_p)^2$$\mathbb{Q}^*_p$, como multiplicativo de los grupos; y para hacer esto, se calcula (página 50, $p$ es asumido impar):

$\mathbb{Q}^*_p/(\mathbb{Q}^*_p)^2 \cong (p^\mathbb{Z}/p^{2\mathbb{Z}}) \times (\mathbb{Z}^*_p/(\mathbb{Z}^*_p)^2) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$

Podría utilizar la ayuda para la comprensión de este argumento - que no parecen referirse a cualquier cosa antes en el libro, y ni siquiera estoy seguro de lo $p^\mathbb{Z}$ $p^{2\mathbb{Z}}$ están aquí.

La única parte de esto, me parecen entender es la razón por la $\mathbb{Z}^*_p/(\mathbb{Z}^*_p)^2 \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$. Por favor, dígame en caso de que esto está mal: esta es la parte que se utiliza Hensel del Lexema. Por el lema, un p-ádico entero es un cuadrado de $\iff$ $0$- ésimo dígito es un cuadrado en $\mathbb{F}^*_p$; pero los cuadrados forman un subgrupo de índice $2$ en el grupo cíclico $\mathbb{F}^*_p$ porque son precisamente los que incluso los poderes de (cualquier) el generador.

Answer 1

$p^{\mathbb{Z}}$ significa que el subgrupo de $\mathbb{Q}_p^{\times}$ generado por $p$, que es abstracta isomorfo a $\mathbb{Z}$, pero esta notación nombres de los isomorfismo: envía $n \in \mathbb{Z}$$p^n$. Del mismo modo $p^{2\mathbb{Z}}$ significa que el subgrupo generado por a $p^2$.

Cada elemento de a $\mathbb{Q}_p^{\times}$ factores de forma única como una potencia entera de $p$ veces $p$-ádico de la unidad en $\mathbb{Z}_p^{\times}$. Es decir, tenemos un producto directo de la descomposición

$$\mathbb{Q}_p^{\times} \cong p^{\mathbb{Z}} \times \mathbb{Z}_p^{\times}$$

y ahí es donde el primer isomorfismo viene. Como usted dice, el segundo isomorfismo viene de Hensel del lexema.