¿Cuáles son todos los primos gemelos$p$ y$q = p + 2$ para los cuales$pq - 2$ también es primo?

Question

Parece que $p = 3$ y $q = 5$ ($pq - 2 = 13$) son las únicas soluciones. Sin embargo estoy teniendo un momento difícil probar esto.

Tengo que los primos pueden ser representados como $3k + 1$ o $3k + 2$ así que si $p = 3k + 2$ y $q = 3k + 4$ y \begin{align} pq - 2 &= (3k + 2)(3k + 4) - 2\ &= 9k^2 + 18k + 8 - 2\ &= 9k^2 + 18k + 6\ &= 3(3k^2 + 6k + 2) \text{ which can't be prime} \end{align}

Así parece prometedor. Pero cuando dejé $p = 3k + 1$ y $q = 3k + 3$ recibo

\begin{align} pq -2 &= (3k + 1)(3k + 3) - 2\ &= 9k^2 + 12k + 3 - 1\ &= 9k^2 + 12k + 2, \end{align}

que muy bien podría ser el primer. Así que ¿qué hago? Sin embargo, parece que la única solución es $p = 3$.

Answer 1

Notamos que para $p=3$ y $q=5$ tenemos una solución. Que $p \geq 5$

Entonces p tiene forma $p=6k \pm 1$ donde $k \in N$

Si $p=6k+1$ y $q=6k+3=3(2k+1)$ $q$ no es entonces un primer. Nos deja con $p=6k-1$. Entonces $q=6k+1$ % que $pq-2=(6k-1)(6k+1)-2=36k^2-3=3(12k^2-1)$que no es un primer.

Concluimos que no hay solución para $p \geq 5$ así que la única solución es $p,q (3,5)$

Answer 2

% Toque $\,\ {\rm mod\ 3}!:\ p\not\equiv \color{#c00}0\,\Rightarrow\, \color{#0a0}q\,(pq!-!2) = \overbrace{(p\,+\,2)}^{\large 0\ {\rm if}\ p\,\equiv\,\color{#c00}{\bf 1}\ }\,\overbrace{(p\,(p+2)-2)}^{\large\ 0\ {\rm if}\ p\,\equiv\,\color{#c00} 2}\equiv 0 $

por lo tanto concluimos $\ 3\nmid \color{#0a0}q\,\Rightarrow\,3\mid pq-2$