No sabía qué poner en mi consulta de búsqueda, así que es posible que esto ya se haya preguntado antes. Si es así, por favor, dame un enlace a la respuesta y voy a borrar esta pregunta.
En álgebra lineal sobre campos, es fácil ver que si una matriz tiene más columnas que filas, entonces existe una relación no trivial entre las columnas.
Este resultado es fácilmente extensible a los dominios integrales conmutativos, ya que se pueden incrustar en campos, y yo pensaría que demostrar el mismo resultado para los anillos de división y, por tanto, para cualquier dominio integral en general no sería tanto problema.
Sin embargo, he leído en alguna parte que esto es válido para matrices sobre anillos arbitrarios, pero no he podido encontrar una prueba. Intuitivamente, esto parece normal porque la eliminación de la integridad hace que más cosas sean cero, más fácilmente (por ejemplo, si el anillo tiene multiplicación trivial, entonces esto es obviamente cierto), y por lo tanto debe hacer la creación de relaciones no triviales más fácil.
Pero cuando el anillo no es lo suficientemente "regular", una teoría de la dimensión sobre este anillo es más difícil de poner en marcha, por lo que no me habría sorprendido que este resultado fuera en realidad falso.
Así que mi pregunta es: ¿es cierto este teorema para anillos arbitrarios y, en caso afirmativo, cómo se demuestra?
