2 factoraje en $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$

Question

$7$ es un número de Heegner, así que todos los números en $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$ tienen una factorización única.

Me dicen:

• no es privilegiada en $2$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-7})$
• no es privilegiada en $3$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-11})$
• no es privilegiada en $5$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-19})$
• no es privilegiada en $11$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-43})$
• no es privilegiada en $17$, $\mathbb{Q}(\sqrt{-67})$
• no es privilegiada en $41$ $\mathbb{Q}(\sqrt{-163})$.

Para el primero de ellos, he intentado encontrar números primeros $(a+b (1+\sqrt{-7})/2)$ y $(c+d (1+\sqrt{-7})/2)$, con el producto $2$, pero no hemos tenido suerte hasta ahora.

Answer 1

$$2=\frac{1+\sqrt{-7}}{2}\frac{1-\sqrt{-7}}{2}$$ $$3=\frac{1+\sqrt{-11}}{2}\frac{1-\sqrt{-11}}{2}$$ $$5=\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\frac{1-\sqrt{-19}}{2}$$ $$11=\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\frac{1-\sqrt{-43}}{2}$$

¿Ver el patrón?

Answer 2

Puesto que 2 no es puro imaginario debe, para no cero $b,d$, que $a=c$ y $d=-b$. Esto reduce a la solución de $(\frac{a+b\sqrt{-7}}{2})(\frac{a-b\sqrt{-7}}{2})=2$, por lo que necesitará encontrar $a,b$ tal que $a^2+7b^2=8$.

Answer 3

Su kilometraje puede variar...

Me parece que estos problemas mucho más fácil si en lugar de intentar resolver $(a - b \theta)(a + b \theta)$ (donde $\theta = \frac{1 + \sqrt d}{2}) = p$, trato de resolver $$\left( \frac{a - b \sqrt d}{2} \right) \left( \frac{a + b \sqrt d}{2} \right) = p.$$ Then $$\left( \frac{a - b \sqrt d}{2} \right) \left( \frac{a + b \sqrt d}{2} \right) = \frac{a^2 + (-d)b^2}{4}$$ and $a^2 + (-d)b^2 = 4p$.

Pues bien, para $d = -7$, $p = 2$, yo resuelvo $a^2 + 7b^2 = 8$. La respuesta, entonces se hace evidente: $a = 1$, $b = 1$ también.

Con las thetas, la cosa es un poco confuso.

$$2 = \frac{1 + 7}{4} = \left( \frac{1 + \sqrt{-7}}{2} \right) \left( \frac{1 - \sqrt{-7}}{2} \right) = (1 - \theta) \theta,$$

(ajuste $\theta$ en cada uno de estos)

$$3 = \frac{1 + 11}{4} = \left( \frac{1 + \sqrt{-11}}{2} \right) \left( \frac{1 - \sqrt{-11}}{2} \right) = (1 - \theta) \theta,$$ $$5 = \frac{1 + 19}{4} = \left( \frac{1 + \sqrt{-19}}{2} \right) \left( \frac{1 - \sqrt{-19}}{2} \right) = (1 - \theta) \theta,$$ $$11 = \frac{1 + 43}{4} = \left( \frac{1 + \sqrt{-43}}{2} \right) \left( \frac{1 - \sqrt{-43}}{2} \right) = (1 - \theta) \theta,$$

es decir, para su $(a + b \theta)(c + d \theta)$, tenemos $a = 1$, $b = -1$, $c = 0$, $d = 1$. Las thetas ocultar su enfoque de la $4p$. Pero, como he dicho, su kilometraje puede variar.

Answer 4

Como se señaló en los comentarios, $2$ es una unidad en $\mathbb Q[\sqrt{-7}]$, ya que el $\frac12\cdot 2 = 1$$\frac12\in\mathbb Q\subseteq\mathbb Q[\text{anything}]$. Por lo tanto, su factorización es trivial.

$2$ es irreducible en a $\mathbb Z[\sqrt{-7}]$ (para ver esto, observe que cada elemento distinto de cero tiene complejo de magnitud $\ge 1$, y los únicos elementos con magnitud menor que $2$$\pm 1$, los cuales son unidades).

Como Rene Schipperus señala, $2$, factor en el anillo de enteros algebraicos en $\mathbb Q[\sqrt{-7}]$, que se compone de los números $$\Bigl\{ (a+m)+(b+m)\sqrt{-7} ~\Bigm|~ a,b\in \mathbb Z, m\in\{0,\tfrac12\} \Bigr\}$$