Utilice esta secuencia para demostrar que hay infinitamente muchos números primeros.

Question

Problema:

Considerando esta secuencia de números

$$2^1 + 1,\:\: 2^2 + 1,\:\: 2^4 + 1,\:\: 2^8 +1,\:\: 2^{16} +1,\:\: 2^{32}+1,\ldots$$

demostrar que existen infinitos números primos.

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Estoy pensando que si me puede mostrar que cada par de números en la secuencia son relativamente primos, a continuación, ya que cada uno tiene al menos un factor primo esta la prueba de la existencia de infinitos números primos.

Pero soy nuevo en matemática discreta y teoría de números, así que no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

La secuencia se da en $a_n=2^{2^n}+1$. Se puede observar

$(a_n-2)\cdot a_n=(2^{2^n}-1)(2^{2^n}+1)=(2^{2^n})^2-1=(2^{2\cdot 2^n})-1=(2^{2^{n+1}})-1=a_{n+1}-2$.

Por lo tanto, si un número primo divide $a_n$ y $a_{n+1}$, entonces divide $2$. $a_n$ Y $a_{n+1}$ son ambos impares, así que son coprimos.

Usted podría intentar ir más lejos comparando $a_n$ y $a_m$ en general.

Answer 2

Si $2^{2^n}\equiv -1\pmod p$, entonces mostrar que $2^{2^{m}}\not\equiv-1\pmod p$ para cualquier $m<n$.

Esto es porque si $2^{2^m}\equiv -1\pmod p$ entonces: $$-1\equiv 2^{2^n}=\left(2^{2^{m+1}}\right)^{2^{n-m-1}}\equiv 1\pmod p$ $ % que $p=2$. Pero se puede $p$ $2$.

Así $2^{2^n}+1$ $2^{2^m}+1$ no tienen los principales factores en común y si $m\neq n$.

Answer 3

Para continuar el enfoque de @JérémyBlanc: tenga en cuenta que $a_n=2^{2^n}+1$ en general. Ahora, tenga en cuenta % $ $$a_{n}-2=2^{2^{n}}-1=(2^{2^{n-1}}-1)(2^{2^{n-1}}+1)=a_{n-1}(2^{2^{n-1}}-1)=a_{n-1}(a_{n-1}-2)=a_{n-1}a_{n-2}(a_{n-2}-2)=\dots=a_{0}a_{1}a_{2}\dots a_{n}(a_{0}-2)=a_{0}a_{1}a_{2}\dots a_{n-1}$

$$\therefore a_n-2=a_0a_1a_2\dots a_{n-1}$ $ Equivalente, $$ 2 ^ {2 ^ n} -1 = (2 ^ {2 ^ 1} - 1) \prod_{m=1}^{n-1} (2 ^ {2 ^ m} + 1), $$

$a_{n}$ Es extraño, tenga en cuenta que $\gcd(a_n,a_{n}-2)=1$. Esto implica que cualquier divisor de $a_{n}-2$ es diferente de cualquier divisor de $a_n$, implicando así $t<n$, $\gcd(a_n, a_t)=1$.

Esto implica que todas las $a_n$ son coprimos. Como han notado, esto completa la prueba.