clase de Chern del paquete de línea compleja

Question

Que $\xi:=(\mathbb{C},E,p,B)$ sea un haz de línea compleja, donde $B$ es un colector o CW-complejo. ¿Cómo determinar si la Chern primera clase $c_1(\xi)=0$ o no desapareciendo?

Answer 1

Si $B$ es un Inmunocomplejo CW hay un isomorfismo de grupos abelianos: $$ ({\text{iso classes of line bundles}}, \otimes) \stackrel {c_1} \to (H^2(B),+)$ $

Por lo tanto la segunda cohomología de su espacio clasifica línea paquetes. La pregunta se traduce en la pregunta sobre la trivialidad de su paquete. Hay absolutamente algunos métodos para comprobar (especialmente para paquetes de línea).

Answer 2

La primer clase de Chern se puede definir como la clase de Euler del paquete real subyacente. (Cada paquete del vector complejo tiene una orientación natural).

Para cualquier paquete del vector, la clase de Euler es que cero iff el paquete tiene una sección distinta de cero. Si el paquete es complejo rotación por da una segunda sección para que el paquete es realmente trivial.