Transformación en una variable aleatoria

Question

¿Puede alguien ayudarme a formatear esta pregunta?

$Y$ es una variable aleatoria exponencial con el parámetro$1$. Deje$Z=-Y$, ¿cuál es el pdf de$Z$?

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Intento:

ps

pero

$$ \begin{align} f_Y(y)&=\frac{d}{dy}[ \Pr(Y>-y)]\\ &=\frac{d}{dy}[1-\Pr(Y< y]\\ &=\frac{d}{dy}[\exp(y)]\\ &=\exp(y) \end {align} $$

Answer 1

Queremos$f_Z(z)$, la función de densidad de$z$. Primero buscaremos el cdf de$Z$.

Cuando nosotros tenemos $z\gt 0$. Entonces, para$\Pr(Z\le z)=\Pr(Y\ge -z)=1$, tenemos$z\gt 0$, y por lo tanto$F_z(z)=1$.

Ahora deja $f_Z(z)=0$. Luego$z\lt 0$ $ Diferenciar con respecto a$$F_Z(z)=\Pr(Z\le z)=\Pr(Y\ge -z)=1-F_Y(-z).$, usando la regla de la cadena, y el hecho de que la derivada de$z$ con respecto a$F_Y(y)$ es$y$. Obtenemos$e^{-y}$ $

Observación: Puede ser un poco más claro observar que$$f_Z(z)=-(-1)e^{-(-z)}=e^z.$, entonces si$F_Y(y)=1-e^{-y}$ luego$z\lt 0$ $ y por lo tanto$$F_Z(z)=1-F_Y(-z)=1-(1-e^{-(-z)})=e^z,$.

Answer 2

Usando el teorema de variables de transformación: $$ g_Z (z) = f_Y (y) \ | J | = f_Y (y) \ \ left | \ frac {dy} {dz} \ right |, $$ donde$J$ es jacobiano Tenemos $$ f_Y (y) = \ lambda e ^ {- \ lambda y} = e ^ {- y} \ quad; \ text {ya que$\lambda=1$ y para} y \ ge0 $$ y$y=-z$. Por lo tanto, $$ g_Z (z) = e ^ {- y} \ left | \ frac {dy} {dz} \ right | = e ^ {- (- z)} \ left | \ frac {d} {dz} ( -z) \ right | = e ^ z \ | -1 | = \ Large \ color {blue} {e ^ z} \ quad; \ text {for} z \ le0. $$ También se puede hacer de la siguiente manera $$ \begin{align} \Pr[Z\le z]&=\Pr[-Y\le z]\\ &=\Pr[Y> -z]\\ &=1-\Pr[Y\le -z]\\ &=1-\left(1-e^{-(-z)}\right)\\ \Pr[Z\le z]&=e^{z}\\ \end {align} $$ y $$ \begin{align} f_Z(z)&= \frac{d}{dz}\Pr[Z\le z]\\ &=\frac{d}{dz}e^{z}\\ &=\Large\color{blue}{e^z} \end {align} $$