¿Cuándo una integral de línea es igual a una integral ordinaria?

Question

Yo estaba trabajando a través de una prueba, y cambió una integral de línea en una integral normal. Era análoga a la de abajo, donde $\cos(\theta)\,dl=dr$ y $C$ es una ruta desde $b$ a $a$ : $$\int_C F(r)\cos(\theta)\,dl=\int^{r_a}_{r_b} F(r)\,dr$$ ¿Por qué es esto válido, es decir, por qué la segunda integral no depende del camino recorrido? A mí me parecería que debería, si digamos que seguimos aumentando y disminuyendo $r$ a lo largo del mismo camino, esto podría tener un efecto en la integral. Entonces, ¿por qué en esta situación podemos pasar de una integral de línea a una integral normal?

Answer 1

En primer lugar, las integrales "normales" son "independientes de la trayectoria" por definición. Cuando conviertes la integral de línea en la segunda integral que tienes a la derecha,

$$ \int_{r_a}^{r_b} F(r) dr \hspace{10pt} ,$$

estás diciendo que la integral de línea original, cuyo camino está prescrito por C, es equivalente a una integral 1-D "normal" que podemos interpretar en el sentido de los rectángulos de Riemann. Es decir, estamos viendo el área bajo la función $F(r)$ .

Espero que esta noción esté clara para ti -- la noción de por qué integrales como $\int_0^5 x^2 dx$ sólo puede alcanzar un valor. La definición de "área bajo la curva" es relativamente inequívoca en el sentido de que no tiene que referirse a ninguna "trayectoria".

En cuanto a por qué es legal que hagamos esta "conversión" de una integral de línea a una integral de "área bajo la curva", yo lo vería de esta manera. Una integral de línea es de la forma $$\int_C \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}$$ Al igual que la integral "área bajo la curva", en realidad sólo estás sumando algo. Para cada paso $ds$ tomas la curva $C$ se añade la cantidad infinitesimal $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}$ asociada a un paso $ds$ . En las integrales de "área bajo la curva", se suma el área asociada a cada pieza de $dx$ a medida que avanza por el $x$ -Eje.

El cálculo de esta integral requiere una parametrización (las opciones comunes de parametrización serían el $x$ coordenada o la hora $t$ ), para definir cuál es su paso $ds$ parece. En el ejemplo que has dado, una variable arbitraria $r$ se utiliza como parámetro. Este parámetro puede ser cualquier cosa, siempre que produzca una correspondencia uno a uno a partir de un intervalo 1D $[r_a,r_b]$ a su curva $C$ . Es decir, cada valor $r$ está asociado a un único punto a lo largo de su curva $C$ y cada pequeño intervalo infinitesimal $dr$ se asocia de forma única con alguna pieza $ds$ a lo largo de la curva $C$ .

Así que lo que estás haciendo en realidad es ver el problema desde una perspectiva más simple. Estás transformando coordenadas en un sentido para hacer tu curva verdaderamente "unidimensional".

Espero que todo lo que he dicho hasta ahora justifique por qué se puede convertir una integral de trayectoria en una integral "normal"/"área bajo la curva".

Ahora bien, parece que hay otro punto que te bloquea conceptualmente. "¿Por qué es esto válido, es decir, por qué la segunda integral no depende del camino recorrido? Me parecería que debería, si digamos que seguimos aumentando y disminuyendo r a lo largo del mismo camino, esto podría tener un efecto en la integral."

(Creo que en la otra respuesta dada se malinterpretó un poco lo que decías. Cuando en cálculo se dice "independiente del camino", normalmente se quiere decir que no importa el camino que se tome entre dos puntos. En tu caso, has fijado el camino $C$ y te preguntas por qué, si de repente decides darte la vuelta y volver sobre tus pasos antes de continuar hacia tu destino final, esto no cambia la integral).

De nuevo, veamos cómo se define la integral de línea: $$\int_C \boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}$$ Esta es la integral de línea en su verdadera forma. Cualquier integral de línea puede escribirse así, incluso las de la forma $$\int_C F(r) ds$$ En $d\boldsymbol{r}$ debe considerarse como un vector que apunta en la dirección en la que te diriges. $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r})$ es el valor de su función vectorial en el punto $\boldsymbol{r}$ y es el mismo independientemente de la dirección en que se recorra el camino. $C$ . En $d\boldsymbol{r}$ asociada a ir "hacia atrás" sería de signo opuesto a la $d\boldsymbol{r}$ asociado a ir "hacia delante". Así, el signo de $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}$ se invierte cuando vas "hacia atrás" en lugar de "hacia delante". Esto significa que cuando vuelves sobre tus pasos, restas todas las $\boldsymbol{F}(\boldsymbol{r}) \cdot d\boldsymbol{r}$ que has añadido al total de tu carrera.

Una forma de ver esto es que si haces una integral de línea sobre $C$ yendo en una dirección, obtendrás el resultado negativo integrándolo yendo en la otra dirección. Digamos que los puntos finales de $C$ son $A$ y $B$ . La integral que va de $A$ a $B$ a lo largo de $C$ sería negativa la integral que va de $B$ a $A$ a lo largo de $C$ . Por lo tanto, el resultado neto de ir $A$ a $B$ a lo largo de $C$ y luego de $B$ a $A$ a lo largo de $C$ sería cero.

Espero que esto esté claro, por favor, hágamelo saber si hay otros puntos que aclarar.

Answer 2

Si ${\bf F}$ es el gradiente de algún escalar $\phi$ (es decir, si ${\bf F}$ es conservador), entonces $$\int_C {\bf F}\cdot d{\bf r} = \int_a^b \nabla\phi \cdot {\bf r}'(t) dt = \int_a^b \frac{d \phi}{dt} dt = \phi(b)-\phi(a),$$ desde $d\phi({\bf r}(t))/dt = \nabla\phi \cdot {\bf r}'(t)$ . La integral de línea sólo depende del valor de $\phi$ en los extremos. Esto es lo que significa la afirmación de que una integral de línea es independiente de la trayectoria.