isometría local de variedades de Riemann no es transitiva

Question

Que $(M_1,g_1)$ y $(M_2,g_2)$ múltiples de Riemannian de la misma dimensión, y que $\phi: M_1 \to M_2$ un mapa liso. Decimos que $\phi$ es una isometría local si $g2 (\phi X, \phi_ Y ) = g_1 (X, Y )$% todo$m \in M_1$y$X, Y \in T_m M1,\phi* : T_m M1 \to T{\phi(m)} M_2$Dónde está el derivado del mapa$\phim.$

¿La relación de ser localmente isométrico de Riemannian múltiples no es simétrica, por supuesto es reflexiva: es transitivo?

Answer 1

La relación es transitiva.

Que $\phi \colon (M_1,g_1) \to (M_2,g_2)$ $\psi \colon (M_2,g_2) \to (M_3,g3)$ser isometries locales. La regla de la cadena$(\psi \circ \phi)\ast = \psi\ast \circ \phi\ast$los rendimientos de todos los$X,Y \in T_{m}M1$eso$$\begin{align*} g{3}((\psi \circ \phi)\ast X, (\psi \circ \phi)\ast Y) & = g{3}(\psi\ast\phi\ast X, \psi\ast\phi\ast Y) &&\text{chain rule}\ &= g{2}(\phi\ast X, \phi\ast Y) && \psi \text{ is a local isometry}\ &= g_{1}(X,Y) && \phi \text{ is a local isometry} \end{align*} $$ $\psi \circ \phi \colon (M_1,g_1) \to (M_3,g_3)$ es una isometría local.