Demostrar que si $p$ y $q$ son primos distintos tales que $pq\mid n^2$ entonces $pq\mid n$ .

Question

Demostrar que si $p$ y $q$ son primos distintos tales que $pq\mid n^2$ entonces $pq\mid n$ .

Mi intento:

Supongamos que $pq\nmid n$ . Si $pq\nmid n$ entonces $p\nmid n$ o $q\nmid n$ . Sin pérdida de generalidad, supongamos que $p\nmid n$ .

Si $p\nmid n$ entonces $pq\nmid n^2$ .

Answer 1

Primero un lema rápido: Si $(a,b)=1$ con $a\mid n$ y $b \mid n$ entonces $ab \mid n$ .

Prueba: Desde $a \mid n$ y $b \mid n$ tenemos $n=ar$ y $n=bs$ para algunos $r,s \in \mathbb{Z}$ . Desde $(a,b)=1$ , $ax+by=1$ para algunos $x,y \in \mathbb{Z}$ Así que \begin{align} n=axn+byn=axbs+byar=ab(xs)+ab(yr)=ab(xs+yr), \end{align} así que $ab \mid n$ .

Ahora es fácil ver, a través del lema de Euclides, que si $pq \mid n^2$ entonces $p \mid n$ y $q \mid n$ Así que, como $p$ y $q$ son primos distintos, son relativamente primos, por lo que $pq \mid n$ por nuestro lema.

Answer 2

Recuerde lema de euclides ...

A mí me hace el trabajo.

Answer 3

Una prueba por contraposición parece ideal en este caso.

Reclamación original: Si $p$ y $q$ son primos distintos tales que $pq\mid n^2$ entonces $pq\mid n$ .

Contrapositivo (reclamación equivalente): Si $pq \nmid n$ entonces $pq\nmid n^2$ .

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Prueba de la contraposición: En primer lugar, considere el Teorema Fundamental de la Aritmética (supongo que puede utilizar este resultado) que establece lo siguiente:

Cada número entero mayor que 1 puede escribirse como un producto de números primos, y, excepto por el orden en que se escriben estos números primos, esto puede hacerse de una sola manera.

Disponiendo los factores primos en orden creciente, vemos que cada número entero $n>1$ puede escribirse de la forma $$ n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\ldots p_k^{e_k} = \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}\quad (p_1 < p_2 < \cdots <p_k) \tag{1} $$ donde los primos $p_1,p_2,\ldots,p_k$ y los enteros positivos $e_1,e_2,\ldots,e_k$ están determinados de forma única por $n$ (la forma expresada en $(1)$ se considera la "descomposición primaria" de $n$ ).

Por lo tanto, supongamos que el $n$ que se considera en nuestro problema es de la forma presentada en $(1)$ . Dado que $p$ y $q$ son primos distintos y que $pq\nmid n$ podemos ver que, a lo sumo, o bien $p$ o $q$ puede ser un factor de $n$ pero no ambos (por ejemplo, si $p=2,q=5,n=2\cdot 3\cdot 7\cdot 11=462$ entonces tenemos que $pq=10$ y $n=462$ pero $10\nmid 462$ aunque $p$ es un factor de $n$ en este ejemplo). En consecuencia, sabemos que $p$ o $q$ es un número primo que no aparecen en la descomposición primaria de $n$ .

Consideremos ahora la descomposición primaria de $n^2$ : $$ n^2 = p_1^{e_1^2}p_2^{e_2^2}\ldots p_k^{e_k^2}. $$ Obsérvese que los números primos escritos para $n$ son las mismas que las escritas para $n^2$ . Dado que uno de los $p$ o $q$ no aparece en la descomposición primaria para $n$ cualquiera que no aparezca en la descomposición primaria de $n$ será el mismo que no aparezca en la descomposición primaria de $n^2$ . Es decir, $pq \nmid n^2$ como se desee. Con esto concluye la prueba.

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Dado que se ha demostrado el contrapositivo, también se ha demostrado la afirmación original. La prueba que he dado más arriba no es muy limpia y es bastante "movida", pero creo que puede ser más clara que lo que se ha comunicado quizás.