Qué solución es la correcta a esta pregunta: encontrar el número de secuencias diferentes $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ con las siguientes reglas

Question

Tengo dos soluciones para este problema: encontrar el número de secuencias diferentes $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$ con las siguientes reglas $x_i \in \{1,2,3\}$ donde $1 \leq i \leq 5 $ $x_1 \leq x_2 \leq x_3 \leq x_4 \leq x_5$

Primera Solución:

La cuestión está preguntando acerca de cómo muchas conjunto múltiple podemos hacer entonces podemos única de organizar, por lo tanto: $$N=\binom{5-1+3}{3}=\binom{7}{3}$$

Segunda Solución:

el uso de las condiciones para hacer de la i a la desigualdad: $$y_1=3-x_5 \geq 0$$ $$y_2=x_5 - x_4 \geq 0 $$ $$y_3=x_4 - x_3 \geq 0 $$ $$y_4=x_3 - x_2 \geq 0 $$ $$y_5=x_2 - x_1 \geq 0 $$ $$y_6=x_1 - 1 \geq 0 $$ La adición de ellos(cada término será cancelada: $$y_1 + y_2 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6 = 2 $$ el número de soluciones de esta ecuación es : $$N = \binom{6-1+2}{2}=\binom{7}{2}$$

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que uno de ellos es correcto y por qué así?

Answer 1

La segunda es la correcta. Aquí está mi versión corregida de su primer cálculo, que es menos trabajo que la segunda.

Tenemos que decidir cuántas $1$'s, ¿cuántas $2$'s, y (por tanto) ¿cuántas $3$'s no va a ser. Imagino que hay $3$ niños, Kid1, Kid2, y Kid3. Queremos distribuir $5$ caramelos idénticos entre ellos. El número de maneras de hacer esto es $\binom{7}{2}$. Alternativamente, el número es $\binom{7}{5}$.

Observación: puede ser difícil recordar las correspondientes fórmulas. En mi memoria para las fórmulas de siempre ha sido en el mejor de los mediocres, y no está mejorando. La manera en que lo hago es imaginar a dar $8$ caramelos, al menos uno para cada niño, y luego quitarle un caramelo a cada uno. Intuitivamente claro Estrellas y las Barras de da que no se $\binom{8-1}{3-1}$ maneras de hacerlo.

Answer 2

Tenemos dos incrementos de invocar y 6 lugares posibles para invocar ellos (contando antes de $x_1$ y después de $x_5$ como posibles ubicaciones). Por lo tanto, podemos utilizar una de las estrellas-y-bares regla de selección para ver que ${7}\choose{2}$ es la respuesta.

"Estrellas y barras"

Pienso en esto como palos y piedras... tenemos 5 palos y 2 piedras para ir en 7 lugares. Establecen las piedras en 2 lugares, llenar los espacios con palos |||*|*| y ver los palos como separadores entre los 6 lugares de interés.