Representación de la función creciente en el cuadrado unitario

Question

¿Conoce algún resultado relativo a la representación de funciones $f : [0,1] \to [0,1]$ continua y creciente (con $f(0)=0,f(1)=1)$ ) como combinaciones convexas de una familia de funciones particulares?

Si denotamos por $\mathcal{K}$ la familia de funciones como arriba la pregunta es si existe una familia $\mathcal{B}$ (estrictamente menor que $\mathcal{K}$ ) de funciones como las anteriores, de forma que cada $f \in \mathcal{K}$ puede escribirse como $$ \sum_{i \in I}\alpha_i b_i \text{ with } b_i \in \mathcal{B} \text{ and } \sum_{i\in I}\alpha_i=1 (\alpha_i>0) $$

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Creo que una pregunta relacionada es la siguiente:

Si denotamos por $M=\{f:[0,1] \to [0,1]: f(x)= x^\lambda , \lambda > 0\}$ entonces cuál es el casco convexo de $M$ ? ¿Está cerca de la familia $\mathcal{K}$ ¿Arriba? Supongo que no puede ser igual, ya que las curvas que tienen simultáneamente pendientes bajas alrededor de cero y pendientes bajas alrededor de uno no están en $M$ .

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Si vemos $\mathcal{K}$ como subconjunto de $C([0,1])$ podemos ver fácilmente que es convexa. ¿Hay alguna manera de imponer algunas restricciones a $\mathcal{K}$ ( $C^1$ con derivadas acotadas, Lipschitz, etc) de forma que el conjunto resultante siga siendo convexo y tenga puntos extremos razonables (para poder utilizar el teorema de Krein Milman)?

Answer 1

El subconjunto de funciones lineales a trozos es un subconjunto de este tipo. Tomemos una función lineal a trozos creciente $f$ que fija 0 y 1 tales que $1/2 f$ se mantiene dentro de 1/2 de la función mientras permanece por debajo de ella (como ser 0 hasta que la función se acerca a 1/2, y luego sube a 1/2 hasta el final). A continuación, tome otro pedazo sabio función lineal $g$ tal que $1/4 g+1/2 f$ se mantiene a 1/4 de la función, sin dejar de estar por debajo de ella. Siguiendo así, obtenemos la función original como una combinación convexa de funciones lineales a trozos.

Un cierto subconjunto de funciones lineales crecientes a trozos que fijan los puntos extremos se denomina grupo de Thompson.

Editar Como se ha señalado en los comentarios, esto no funciona. Esta construcción funciona para $C^1$ y posiblemente funciones Lipschitz o absolutamente continuas.