¿Cómo demostrar que esta función real no es periódica?

Question

¿Cómo se puede probar que $$\cos\left ( \frac { \pi }{2} t \right )+ \cos\left (t \right )$$ no es periódica?

Esta cuestión está motivada por la representación espectral armónica de las series temporales. De hecho, es fácil mostrar que una trayectoria de una serie temporal dada por $$\cos ( \lambda_1 t) + \cos ( \lambda_2 t)$$ es periódica si $\frac { \lambda_1 }{ \lambda_2 } \in \mathbb {Q}$ . En el ejemplo anterior no es así, ya que $\frac { \lambda_1 }{ \lambda_2 } = \pi /2.$

Por lo tanto, el caso anterior podría servir como ejemplo para la declaración: si $\frac { \lambda_1 }{ \lambda_2 } \not\in \mathbb {Q}$ entonces la trayectoria de una serie temporal armónica no es en general periódica.

Answer 1

El caso general se resuelve de manera similar.

Supongamos que $f(t) = \cos ( \lambda_1 t) + \cos ( \lambda_2 t)$ es periódica = $f(t + T)$

Luego $f(0) = cos(0) + cos(0) = 2 = \cos ( \lambda_1 T) + \cos ( \lambda_2 T)$

Así que.., $\lambda_1 T = 2 \pi n$ y $\lambda_2 T = 2 \pi m$ para los números enteros n y m

Por lo tanto $\frac { \lambda_1 }{ \lambda_2 } = n/m$ es decir. $\frac { \lambda_1 }{ \lambda_2 } \in \mathbb {Q}$

(asumiendo que $\lambda_2 , T$ no son cero).

Un caso más general es $f(t) = c_1 \cos ( \lambda_1 t) + c_2 \cos ( \lambda_2 t)$

Supongamos en primer lugar que $c_1$ y $c_2$ son el mismo signo. Entonces, similar a lo anterior $f(0) = c_1 cos(0) + c_2 cos(0) = c_1 + c_2 = c_1 \cos ( \lambda_1 T) + c_2 \cos ( \lambda_2 T)$ Desde $c_1$ y $c_2$ son el mismo signo que esto todavía requiere que $\lambda_1 T = 2 \pi n$ y $\lambda_2 T = 2 \pi m$ para los números enteros n y m y el resultado sigue.

Si son signos diferentes, entonces mi respuesta publicada antes estaba equivocada,

Y, un caso aún más general es $f(t) = c_1 \cos ( \lambda_1 t + \alpha_1 ) + c_2 \cos ( \lambda_2 t + \alpha_2 )$

Aquí, usa la expansión de $cos (a + b) = cos(a)cos(b) + sin(a) sin(b)$ . La función $f$ es ahora de la forma $f(t) = d_1 \cos ( \lambda_1 t) + d_2 \cos ( \lambda_2 t) + d_3 \sin ( \lambda_1 t) + d_4 \sin ( \lambda_2 t)$ .

Mi anterior conclusión de esta parte de la prueba estaba equivocada, por lo que esta parte de la pregunta sigue abierta.

Answer 2

La función $$f(t)= \cos\left ( \frac { \pi }{2} t \right )+ \cos\left (t \right )$$

es parejo; así que $f(t+T)=f(t) \Leftrightarrow f(t-T)=f(t),~~ \forall t$ .

Sumando las ecuaciones $$f(t+T)=f(t),$$ $$f(t-T)=f(t),$$

llegamos a

$$\cos t \cos T + \cos\left ( \frac { \pi }{2} t \right ) \cos\left ( \frac { \pi }{2} T \right )= \cos t+ \cos\left ( \frac { \pi }{2} t \right ),~~ \forall t.$$

Entonces, para $t=0$ tenemos

$$\cos T + \cos\left ( \frac { \pi }{2} T \right )= 2$$

lo que implica $T=2m \pi$ y $T=4n$ para $n,m \in\mathbb Z$ . En resumen, no existe una solución al problema de la periodicidad ( $T=0$ no es un período en nuestras convenciones).