Cómo demostrar que la bola unitaria cerrada en $\mathbb{R}^n$ con la topología del subespacio, ¿no es un colector?

Question

Nuestra definición de colector $M$ es un espacio topológico de Hausdorff tal que para cada $x \in M$ existe una vecindad $U_x$ que es homemórfico a $\mathbb{R}^m$ para algunos $m$ . Definimos la bola unitaria cerrada en $\mathbb{R}^n$ el conjunto $\{x \in \mathbb{R}^n \colon \|x\| \leq 1\}$ .

La afirmación es que la bola unitaria cerrada no es un colector. La bola unitaria abierta es claramente un colector, así que asumo que para cada punto $x$ en el límite de la bola unitaria cerrada, ninguna de las vecindades de $x$ son homemórficos de $\mathbb{R}$ . Sin embargo, estoy teniendo problemas para hacerlo. He intentado demostrarlo por contradicción suponiendo que existe tal homemorfismo y demostrando que existe una propiedad topológica de $\mathbb{R}^n$ que la bola unitaria cerrada no tiene.

Answer 1

Supongo que se refiere a la bola unitaria cerrada $\mathbb{B}$ con el subespacio topología.

Toma un punto satisfactorio $\|x\|=1$ . Todo conjunto abierto $U_x$ en torno a $x$ se puede escribir $U_x=U\cap\mathbb{B}$ para algún conjunto abierto $U$ de $\mathbb{R}^n$ .

Supongamos que tenemos un homeomorfismo $f$ entre $U_x=U\cap\mathbb{B}$ y $\mathbb{R}^m$ para algunos $m$ .

Ahora elimine el punto $x$ de $U_x$ y el punto $f(x)$ de $\mathbb{R}^m$ . Entonces $f$ se restringe a un homeomorfismo entre $U_x-x$ que tiene tipo homotópico trivial, y $\mathbb{R}^m$ menos un punto, que no.