5 votos

Demuestre que la ecuación de Pell modificada$x^2 - 7y^2 = -1$ no tiene soluciones en números enteros$x,y$.

Demuestre que la ecuación de Pell modificada$x^2 - 7y^2 = -1$ no tiene soluciones en números enteros$x,y$. (Sugerencia: reduzca el módulo de ecuaciones a un primo adecuadamente elegido)

Creo que podemos usar la ecuación de Diofantina para esto, pero no sé por dónde empezar. Soy nuevo en este material en Number Theory.

6voto

laleh8798 Puntos 16

Agrega$8y^2+4$ a ambos lados de la ecuación obteniendo$x^2+y^2+4 = 8y^2+3$ Ahora lee esta ecuación módulo 4, obtenemos$x^2+y^2\equiv3\pmod 4$. Como cualquier cuadro deja un resto de 0 o 1 mod 4, agregando dos de ellos (el LHS) no podemos obtener 3 (el RHS).

3voto

Trezoid Puntos 712

Tome ambos lados módulo 7. Tenemos$x^2=-1$ módulo 7 que no tiene solución ya que 7 es un primo de tipo 3 mod 4.

2voto

Eric Towers Puntos 8212

Intente levantar todas las soluciones módulo$7$.

1voto

Stephan Aßmus Puntos 16

$$ \sqrt { 7} = 2 + \frac{ \sqrt {7} - 2 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {7} - 2 } = \frac{ \sqrt {7} + 2 }{3 } = 1 + \frac{ \sqrt {7} - 1 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {7} - 1 } = \frac{ \sqrt {7} + 1 }{2 } = 1 + \frac{ \sqrt {7} - 1 }{2 } $$ $$ \frac{ 2 }{ \sqrt {7} - 1 } = \frac{ \sqrt {7} + 1 }{3 } = 1 + \frac{ \sqrt {7} - 2 }{3 } $$ $$ \frac{ 3 }{ \sqrt {7} - 2 } = \frac{ \sqrt {7} + 2 }{1 } = 4 + \frac{ \sqrt {7} - 2 }{1 } $$

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccccccc} & & 2 & & 1 & & 1 & & 1 & & 4 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 2 }{ 1 } & & \frac{ 3 }{ 1 } & & \frac{ 5 }{ 2 } & & \frac{ 8 }{ 3 } \\ \\ & 1 & & -3 & & 2 & & -3 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 7 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 2 }{ 1 } & 2^2 - 7 \cdot 1^2 = -3 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 3 }{ 1 } & 3^2 - 7 \cdot 1^2 = 2 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 5 }{ 2 } & 5^2 - 7 \cdot 2^2 = -3 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 8 }{ 3 } & 8^2 - 7 \cdot 3^2 = 1 & \mbox{digit} & 4 \\ \end{array} $$

==========================================================================

Aquí hay una buena, no sorprendentemente difícil. Demostrar que la modificación de la ecuación de Pell $x^2 - 221y^2 = -1$ no tiene soluciones en los enteros $x,y$.

$$ \sqrt { 221} = 14 + \frac{ \sqrt {221} - 14 }{ 1 } $$ $$ \frac{ 1 }{ \sqrt {221} - 14 } = \frac{ \sqrt {221} + 14 }{25 } = 1 + \frac{ \sqrt {221} - 11 }{25 } $$ $$ \frac{ 25 }{ \sqrt {221} - 11 } = \frac{ \sqrt {221} + 11 }{4 } = 6 + \frac{ \sqrt {221} - 13 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {221} - 13 } = \frac{ \sqrt {221} + 13 }{13 } = 2 + \frac{ \sqrt {221} - 13 }{13 } $$ $$ \frac{ 13 }{ \sqrt {221} - 13 } = \frac{ \sqrt {221} + 13 }{4 } = 6 + \frac{ \sqrt {221} - 11 }{4 } $$ $$ \frac{ 4 }{ \sqrt {221} - 11 } = \frac{ \sqrt {221} + 11 }{25 } = 1 + \frac{ \sqrt {221} - 14 }{25 } $$ $$ \frac{ 25 }{ \sqrt {221} - 14 } = \frac{ \sqrt {221} + 14 }{1 } = 28 + \frac{ \sqrt {221} - 14 }{1 } $$

Simple continuación de la fracción de tableau:
$$ \begin{array}{cccccccccccccccccc} & & 14 & & 1 & & 6 & & 2 & & 6 & & 1 & & 28 & \\ \\ \frac{ 0 }{ 1 } & \frac{ 1 }{ 0 } & & \frac{ 14 }{ 1 } & & \frac{ 15 }{ 1 } & & \frac{ 104 }{ 7 } & & \frac{ 223 }{ 15 } & & \frac{ 1442 }{ 97 } & & \frac{ 1665 }{ 112 } \\ \\ & 1 & & -25 & & 4 & & -13 & & 4 & & -25 & & 1 \end{array} $$

$$ \begin{array}{cccc} \frac{ 1 }{ 0 } & 1^2 - 221 \cdot 0^2 = 1 & \mbox{digit} & 14 \\ \frac{ 14 }{ 1 } & 14^2 - 221 \cdot 1^2 = -25 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 15 }{ 1 } & 15^2 - 221 \cdot 1^2 = 4 & \mbox{digit} & 6 \\ \frac{ 104 }{ 7 } & 104^2 - 221 \cdot 7^2 = -13 & \mbox{digit} & 2 \\ \frac{ 223 }{ 15 } & 223^2 - 221 \cdot 15^2 = 4 & \mbox{digit} & 6 \\ \frac{ 1442 }{ 97 } & 1442^2 - 221 \cdot 97^2 = -25 & \mbox{digit} & 1 \\ \frac{ 1665 }{ 112 } & 1665^2 - 221 \cdot 112^2 = 1 & \mbox{digit} & 28 \\ \end{array} $$

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X