Hace poco estuve tratando de pensar en un simple ejemplo que demuestra que la inclusión natural de un grupo abelian $G$ a $$\widehat{\widehat{G}}=\text{Hom}_{\mathsf{Ab}}(\text{Hom}_{\mathsf{Ab}}(G,\mathbb{C}^\times),\mathbb{C}^\times)$$ no es necesariamente un isomorfismo. Tenga en cuenta que estoy buscando en todos los homomorphisms; no topología en los que participa el grupo (o, si se prefiere, todos ellos son discretos).
Obviamente, $G$ tiene que ser infinito. Sin embargo, yo estaba teniendo un poco de problemas para encontrar un ejemplo satisfactoriamente simple - de hecho, el único que podía probar que funcionó fue $G=\mathbb{Z}$, en cuyo caso $\widehat{G}=\text{Hom}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{Z},\mathbb{C}^\times)\cong\mathbb{C}^\times$, por lo que $$\widehat{\widehat{G}}\cong\text{Hom}_{\mathsf{Ab}}(\mathbb{C}^\times,\mathbb{C}^\times)$$ que es incontable, debido a la existencia de una cantidad no numerable de automorfismos del campo $\mathbb{C}$. Sin embargo, que requiere el axioma de elección, que parece que no debería ser necesario. Estoy seguro de que me estoy perdiendo una obvia - alguien podría proporcionar una $G$ que no requiere el axioma de elección para demostrar que el mapa no es surjective?
