¿Si rank$(T)$=rank$(T^2)$, entonces $V=R(T)+N(T)$?

Question

$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$ La afirmación anterior no es exactamente lo que dice el problema; más bien, se me pide demostrar si $\rank(T)=\rank(T^2)$ entonces $V=R(T)+N(T)$ (donde $R$ es el rango y $N$ es el núcleo), y $R(T)\cap N(T)=0$.

He demostrado que debemos tener $R(T)=R(T^2)$, y que $R(T)\cap N(T)=0$. Estoy atascado en demostrar que $V=R(T)+N(T)$. Estoy tratando de demostrarlo de la siguiente manera:

Sea $v\in V$. Entonces escribo $v=T(v)+(v-T(v))$. El primero está en $R(T)$, así que necesito mostrar que $v-T(v)\in N(T)$, de manera que $$T(v-T(v))=T(v)-T^2(v)=T(v)-T(v)=0$$

Pero claramente necesito $T^2=T$ para que esto funcione. Realmente estoy luchando para demostrar esto, ¿algunas pistas/sugerencias? Tal vez estoy yendo por el camino equivocado.

Editar: Cambié la pregunta porque mi suposición era incorrecta. Así que ahora estoy aún más perdido en cómo demostrar $V=R(T)+N(T)$.

Answer 1

Supongo a partir del contexto que $T$ es una transformación lineal (ya que estamos hablando de rango y núcleo) y que $T:V\to V$ (porque de lo contrario $T^2$ no tendría sentido).

Además, asumo que $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita. Resulta ser crucial, ya que el resultado no sería cierto sin esta suposición.

Por ejemplo, consideremos $\Bbb R^{\Bbb N}$, el conjunto de secuencias $\vec x=\langle x_n\rangle_{n\in\Bbb N}$, donde $\Bbb N$ es el conjunto de números naturales y $x_n\in\Bbb R$ para todo $n\in\Bbb N.$ Podemos definir la suma y la multiplicación por un escalar de una manera natural como $$\vec x+\vec y=\langle x_n+y_n\rangle_{n\in\Bbb N}$$ y $$c\vec x=\langle cx_n\rangle_{n\in\Bbb N}$$ para hacer de $\Bbb R^{\Bbb N}$ un espacio vectorial sobre $\Bbb R.$

Para cualquier $k\in\Bbb N$, permitimos que $\vec e^{(k)}$ sea el vector que tiene $1$ como su entrada $k$ y $0$ para todas las demás entradas. Fácilmente, los vectores $\vec e^{(k)}$ conforman una base para $\Bbb R^{\Bbb N}$ sobre $\Bbb R.

Ahora, consideremos la transformación lineal $T:V\to V$ dada por $\vec e^{(1)}\mapsto\vec 0$ y $\vec e^{(k)}\mapsto\vec e^{(k-1)}$ para todos los demás $k\in\Bbb N.$ ¿Cómo se ve esto en general? Bueno, con un poco de trabajo, podemos mostrar que $$\langle x_1,x_2,x_3,x_4,\dots\rangle\mapsto\langle x_2,x_3,x_4,x_5,\dots\rangle.$$

Así, $R(T)=R(T^2)=\Bbb R^{\Bbb N}$ y $N(T)$ es el subespacio generado por $\vec e^{(1)}.$

Por otro lado, si asumimos que $V$ es de dimensión finita, entonces al demostrar que $R(T)\cap N(T)=0,$ tenemos $$\dim(R(T)+N(T))=\dim V-\dim R(T)\cap N(T)=\dim V$$ por la nulidad de rango. Así, dado que $V$ es de dimensión finita y $R(T)+N(T)\subseteq V,$ entonces....