Aunque esto no es una respuesta completa, podría ser útil considerar como una técnica.
Primero de todo, si $n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k}$ (primer factorización de $n$),$d(n)=(\alpha_1+1)(\alpha_2+1)...(\alpha_k+1)$, por lo tanto
$$d(n)\equiv 0 \pmod{p} \iff \exists \alpha_i, i\in \{1,..,k\}: p \mid \alpha_i+1 \tag{1}$$
Proposición 1. No hay soluciones para $N<2^{p-1}$.
De $(1)$ tenemos $\alpha_i=p\cdot t -1$ y debido a $\alpha_i \geq 1$ $t \geq 1$ o $\alpha_i \geq p-1$$n\geq p_i^{\alpha_i}\geq 2^{p-1}$. Como resultado, $N\geq 2^{p-1}$, de lo contrario - que no hay soluciones.
Ahora, con más detalles:
- $\color{red}{2}^{p-1}\times 1, 2^{p-1}\times 3, 2^{p-1}\times 5, 2^{p-1}\times 7, 2^{p-1}\times 9, ..., 2^{p-1}\times n_2 < N$ o
$$1<3<5<7<9<...<n_2<\frac{N}{2^{p-1}}$$
cuales son todos los números impares $<\frac{N}{2^{p-1}}$,$\color{blue}{\approx\frac{N}{2^{p-1}}-\frac{N}{2\cdot2^{p-1}}}$.
- y así sucesivamente para $2^{p\cdot t-1}=\color{red}{2^{p(t-1)}}\times 2^{p-1}$ a ha $\color{blue}{\approx\frac{N}{2^{p(t-1)}\cdot 2^{p-1}}-\frac{N}{2\cdot 2^{p(t-1)}\cdot 2^{p-1}}}$
- $\color{red}{3}^{p-1}\times 1, 3^{p-1}\times 2, 3^{p-1}\times 4, 3^{p-1}\times 5, 3^{p-1}\times 7, ..., 3^{p-1}\times n_3 < N$ o
$$1<2<4<5<7<8<...<n_3<\frac{N}{3^{p-1}}$$
o todos los enteros positivos $<\frac{N}{3^{p-1}}$ no divisible por $3$, $\color{blue}{\approx \frac{N}{3^{p-1}}-\frac{N}{3\cdot3^{p-1}}}$
- y así sucesivamente para $3^{p\cdot t-1}=\color{red}{3^{p(t-1)}}\times 3^{p-1}$ a ha $\color{blue}{\approx\frac{N}{3^{p(t-1)}\cdot 3^{p-1}}-\frac{N}{3\cdot 3^{p(t-1)}\cdot 3^{p-1}}}$
- $\color{red}{5}^{p-1}\times 1, 5^{p-1}\times 2, 5^{p-1}\times 3, 5^{p-1}\times 4, 5^{p-1}\times 6, ..., 5^{p-1}\times n_5 < N$ o
$$1<2<3<4<6<7<8<9<11<...<n_5<\frac{N}{5^{p-1}}$$
o todos los enteros positivos $<\frac{N}{5^{p-1}}$ no divisible por $5$, $\color{blue}{\approx \frac{N}{5^{p-1}}-\frac{N}{5\cdot5^{p-1}}}$
- y así sucesivamente para $5^{p\cdot t-1}=\color{red}{5^{p(t-1)}}\times 5^{p-1}$ a ha $\color{blue}{\approx\frac{N}{5^{p(t-1)}\cdot 5^{p-1}}-\frac{N}{5\cdot 5^{p(t-1)}\cdot 5^{p-1}}}$
- y así sucesivamente para $\color{red}{7}, \color{red}{11}, \color{red}{13}, ...$ es decir, de los números primos.
Esto empieza muy bien a la forma en algo como
$$\sum\limits_{q-\text{prime}} \left( \sum\limits_{t=1} \left \lfloor \frac{(q-1)N}{q^{t\cdot p}} \right \rfloor \right) \tag{2}$$
Pero, hay un problema. Por ejemplo, en la secuencia de $\color{red}{2}$ tenemos $2^{p-1}\times 9$ y la secuencia de $\color{red}{3}$ tenemos $3^{p-1}\times 4$. Dependiendo $N$, la secuencia de $\color{red}{2}$ puede contener $2^{p-1}\times 3^{p-1}$ y la secuencia de $\color{red}{3}$ tenemos $3^{p-1}\times 2^{p-1}$. De modo que podemos tener la solapa, que conduce a la aplicación de la inclusión-exclusión en el principio de lo que complica las cosas. Al menos, el número de soluciones no deben exceder $(2)$.
