Grupos de homología de$R^n $ \ a subconjunto cerrado que es homeomorfo a$R^k$ para a$k$

Question

¿Cómo puedo calcular los grupos de homología de$R^n $ \ (un subconjunto cerrado que es homeomorfo al$R^k$ para un$k$)? (me refiero a$R^n $ con un subconjunto cerrado que es homeomorfo a$R^k$ eliminado.

Answer 1

Alexander Duality debería hacer el truco.

Sin embargo, la respuesta depende del conjunto abierto al que te refieres. Por ejemplo,$\mathbb R^2 \setminus I$, donde I es el intervalo de unidad abierta tiene la homología de$S^1$, mientras que$\mathbb R^2\setminus \mathbb R \times \{0\}$ tiene la homología de dos puntos.

En particular, busque un subconjunto abierto delimitado$U$ hoeomorfo$\tilde{H_j}(M) \cong \tilde{H}^{n-j-1}(S^n \setminus M)$ para$M$ a submanifold cerrado (la escisión dará el resultado deseado).