Si se atraviesa un espacio del vector $V$ $\{v_1,v_2\}$ entonces cualquier tres vectores en $V$ es linealmente dependiente

Question

Deje $V$ ser un espacio vectorial generado por $\{v_1,v_2\}$.

Reclamo: Cualquier conjunto que consta de tres vectores en $V$ es linealmente dependiente.

Prueba: Vamos A $w_1,w_2,w_3 \in V$.

Llame al conjunto formado $\{w_1,w_2,w_3\}$$A$.

Por lo tanto, estamos tratando de mostrar que $A$ es linealmente dependiente.

Por definición de dependencia lineal, queremos mostrar que existe $c_i \neq 0$ tal que $c_1w_1+c_2w_2+c_3w_3=0$ donde $c_i \in \mathbb{R}$.

Podemos, equivalentemente, escribir la ecuación anterior como sigue desde $\{v_1,v_2\}$ abarca $V$.

$c_1(a_{11}v_1+a_{12}v_2)+c_2(a_{21}v_1+a_{22}v_2)+c_3(a_{31}v_1+a_{32}v_2)=0$ donde $a_{ij} \in \mathbb{R}$.

$\iff v_1(c_1a_{11}+c_2a_{21}+c_3a_{31})+v_2(c_1a_{12}+c_2a_{22}+c_3a_{32})=0$

Aquí metido

Si yo sabía que $\{v_1,v_2\}$ es linealmente independiente, entonces puede proceder a la prueba perfectamente bien y todo saldrá. Sin embargo, no estoy teniendo en cuenta esta información por lo tanto, estoy estancado en cuanto a cómo me puede proceder de lo que tengo.

Cualquier sugerencia/consejo sería apreciada! Gracias de antemano.

Edit #1: parecía claro a partir de las respuestas que me estoy poniendo en lo que yo estoy tratando de preguntar. Lo siento por eso. Mi pregunta sería ¿me necesitan la información que $\{v_1,v_2\}$ es linealmente independiente? Ninguno de los comentarios/respuestas parece que me ayude a guiar en lo que mi pregunta es...

Answer 1

Vamos a considerar los dos casos

• $v_1$ $v_2$ no linealmente independiente
• $v_1$ $v_2$ linealmente independientes

Para $v_1$ $v_2$ no linealmente independientes tenemos

• $v_2=av_1$

y así

• $w_1=bv_1$
• $w_2=cv_1$
• $w_3=dv_1$

Para $v_1$ $v_2$ linealmente independientes, supongamos wlog que $w_1$ $w_2$ son linealmente independientes, luego de que

• $w_1=a_1v_1+a_2v_2$

• $w_2=b_1v_1+b_2v_2$

obtenemos para $\begin{bmatrix}c_1&d_1\\c_2&d_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}^{-1}$

• $v_1=c_1w_1+c_2w_2$

• $v_2=d_1w_1+d_2w_2$

y así

• $w_3=e_1v_1+e_2v_2=f_1w_1+f_2w_2$

Answer 2

Usted no necesita $v_1,\ v_2$ a es linealmente independiente. Por la dependencia lineal lema, si usted tiene un linealmente dependiente de la lista, entonces existe un vector en esa lista, que puede ser retirado sin cambiar el intervalo de la lista. Repita este procedimiento hasta que haya un linealmente independientes de la lista, esta lista tiene el mismo espacio que el original de la lista.

Por lo tanto, podemos dividirlo en los casos. Ya sea:

1. $v_1,\ v_2$ es linealmente independiente;
2. $v_1$ es linealmente independiente (o $v_2$; sin pérdida de generalidad, elegir la primera); o
3. terminamos con una lista vacía.

En el caso 2, cada una de las $w_i$ puede ser escrito como un múltiplo de $v_1$; la prueba en este caso es más simple que en el caso 1. El caso 3 es un poco patológico; significa tanto $v_1$ $v_2$ cero vectores (de lo contrario el procedimiento se habría detenido en el caso 2: un vector distinto de cero siempre es linealmente independiente por sí mismo). Esto obliga a $V$ a ser el trivial espacio vectorial, es decir, $V = \{0\}$. A continuación,$w_1 = w_2 = w_3 = 0$, lo que conduce a $A$ ser linealmente dependiente.